nr. 475 - 2010 - Institut for Natur, Systemer og Modeller (NSM)

3.6 Lorentzforkortningen 37
ligningerne (3.33) og (3.34) fås
tan(α ′ ) = u′ y
u ′ x
=
1 − v
c
ux − v
2 uy
(3.57)
hvor u ′ x, u ′ y, ux og uy angiver hastighedskomponenterne for partiklen i henholdsvis
S ′ og S. Da ux = u cos(α) og uy = sin(α), hvor u er partiklens fart
i S, kan ligning (3.57) skrives
tan(α ′
1 −
) =
v 2
u sin(α)
c
(3.58)
u cos(α) − v
Ved at anvende den trigonometriske relation cos(α ′ ) =
finde ligning (3.22) ved at lade u → c i ligning (3.58).
3.6 Lorentzforkortningen
√ 1 vil vi gen-
1+tan2 (α ′ )
At måle længden af en stang i et inertialsystem vil sige, at til samme tidspunkt
i det pågældende inertialsystem iagttages rumkoordinaterne for stangens
endepunkter A og B. Den geometriske afstand mellem disse to punkter
er stangens længde. Stangen lægges langs med x, x ′ -aksen, og stangen er i
hvile i systemet S ′ . Til tiden t i system S er stedkoordinaterne til A og B i
S henholdsvis xA og xB. I systemet S ′ er de tilhørende x ′ er
x ′ A = xA − v t
v 1 − ( c )2
x ′ B = xB − v t
v 1 − ( c )2
(3.59)
(3.60)
Stangens længde i S er l = xB − xA. Stangens længde i S ′ er lo = x ′ B − x′ A
da endepunkterne A og B i S ′ jo til alle tider har samme x ′ -koordinater. Ved
brug af ligningerne (3.59) og (3.60) fås da sammenhængen mellem l og lo som
benævnes Lorentzforkortningen
2 v
l = lo 1 −
(3.61)
c
da der gælder l ≦ lo.
Forkortningen af et legeme i bevægelsesretningen var før Einstein blevet
benyttet af H.A. Lorentz og af G.F. FitzGerald til at "forklare" det negative
resultat af Michelson-Morleys forsøg på at vise jordens bevægelse gennem
æteren.