nr. 475 - 2010 - Institut for Natur, Systemer og Modeller (NSM)

88 Relativistisk dynamik: Bevægelsesligningen
u = (ux, uy), u0 = (u0x, u0y) samt sætte u 2 0 = u 2 0x + u 2 0y. Bevægelsesligningen
bliver her
m d
dt
som skrevet ud i koordinater giver
d
dt
u
1 − u2 x +u2 y
c 2
ux
1 − u2x +u2 y
c2 d
dt
uy
= q E
1 − u2 x+u 2 y
c 2
= q E (6.16)
m
(6.17)
= 0 (6.18)
hvor der igen er benyttet E = | E|. Ligningerne (6.17) og (6.18) har med de
givne begyndelsesbetingelser løsningen
ux
1 − u2 x+u 2 y
c 2
= q E
m
uy
1 − u2x +u2y c2 t +
=
u0x
1 − u2 0x +u2 0y
c2 u0y
1 − u2 0x +u2 0y
c2 (6.19)
(6.20)
Det ses af ligning (6.20), at der er et bånd mellem ux og uy. Ved en lille
regning kan dette udtrykkes ved
u 2 y = u 2 0y
1 − u2x c2 1 − u2 0x
c2 (6.21)
Ideen er nu at indsætte ligning (6.21) i ligning (6.19), men inden vi gør det,
vil vi se på indmaden af kvadratroden, der indgår i ligning (6.19). Denne
indmad kan ved brug af ligning (6.21) omskrives til
1 − u2 x + u 2 y
c 2
= (1 − u2 0
c 2 ) (1 − u2 x
c 2 )
1 − u2 0x
c 2
(6.22)
Ligning (6.22) benyttes til omskrivning af ligning (6.19), og følgende udtryk
for ux opnås
ux =
q E
m
1 − u2 0
c 2 t + u0x
q E
1 + ( m c )2 (1 − u2 0
c2 ) t2 + 2
q E
m c 2
1 − u2 0
c 2 t u0x
(6.23)