nr. 475 - 2010 - Institut for Natur, Systemer og Modeller (NSM)

62 Relativistisk dynamik: Indledning
For energien kan vi lave helt samme regnestykke ved igen at benytte omskrivningen,
der førte frem til udtrykket i ligning (4.48)
E ′ =
m c 2
1 − ( u′ x
c )2
=
=
ux v m (1 − c2 ) c2
ux 1 − ( c )2 1 − ( v
c )2
m c2 √ ux 1−( ) c 2 − v m ux √ ux 1−( ) c 2
1 − ( v
c )2
(4.51)
(4.52)
Her genkendes E og px, begge målt i S, og transformationen for energien er
dermed også bestemt
E ′ =
E − v px
1 − ( v
c )2
(4.53)
I det her betragtede simple tilfælde, hvor hastighederne er rettede efter x, x ′ -
akserne gælder umiddelbart py = 0 og p ′ y = 0 samt pz = 0 og p ′ z = 0. I
det almene tilfælde, hvor hastighederne kan have vilkårlig retning, gælder
for impulstransformationerne vinkelret på medføringshastigheden v af S ′ , at
impulserne er ens, dvs.
p ′ y = py og p ′ z = pz
4.5.2 Impulsen i vilkårlig retning
(4.54)
Transformationen for p og E, i tilfældet hvor p også har en komposant vinkelret
på inertialsystemet S ′ ’s hastighed v, kan findes på helt samme måde som
ovenfor. Regnestykket er kun lidt længere.
Vi kan altid vælge koordinatakser, således at p kun har komposanter i xretningen
og i y-retningen. Hvis p havde en z-komposant, kunne vi blot foretage
en drejning af inertialsystemet S, således at pz = 0 og en tilsvarende
drejning af inertialsystemet S ′ så p ′ z = 0. Det er altså nok at se på transformation
af px og py (eller p ′ x og p ′ y). Se Fig. (4.9).
I både impulsen og energien vil størrelserne ( |u|
c )2 og ( |u′ |
c )2 optræde. Her er
|u| 2 = u2 = u2 x + u2 y og |u ′ | 2 = u ′2 ′ 2 ′ 2
= u x + u y . Ved igen at benytte transfor-
mationen for hastighed får vi