nr. 475 - 2010 - Institut for Natur, Systemer og Modeller (NSM)

9.9 Lorentztransformationen tager en drejning 143
Denne matrix skal være symmetrisk. Dvs. der skal gælde Λ ∗1 2 = Λ ∗2 1, altså
eller
Af ligning (9.108) findes
−γy sin(θ ∗ ) = γx sin(θ ∗ ) + γx γy βx βy cos(θ ∗ ) ⇔
tan(θ ∗ ) = − γx γy βx βy
γx + γy
cos(θ ∗ ) = γx + γy
1 + γx γy
βx βy
tan(θ ∗ ) = −
1 − β2 x + 1 − β2 y
og sin(θ ∗ ) = − γx γy βx βy
1 + γx γy
(9.108)
(9.109)
(9.110)
Vha. af ligning (9.110) kan vi checke, at de øvrige matrixelementer af matricen
i ligning (9.107) også opfylder kravet om symmetri. Eksplicit finder vi, at Λ∗ er
Λ ∗ ⎛
γx γy −γx γy βx −γy βy 0
⎜
⎜−γx
γy βx 1 +
= ⎜
⎝
γ2 x γ2 y β2 x γx γ
1+γx γy
2 y βx βy
0
1+γx γy
γx γ
−γy βy
2 ⎞
⎟ (9.111)
y βx βy γy (γx+γy)
0⎠
1+γx γy 1+γx γy
0 0 0 1
som altså er den matrix, der bestemmer transformationen fra S til S ∗ . Hastighe-
den af S ∗ , v ∗ = c β ∗ , i forhold til S aflæses ved at se på 0’te søjlerne af
matricerne i ligningerne (9.11) og (9.111). Dette giver med γ∗ = (1 − β∗2 1
−
) 2
og β∗ = | β∗ |
heraf fås
og dermed
γ ∗ = γx γy
γ ∗ β ∗ 1 = γx γy βx
γ ∗ β ∗ 2 = γy βy
γ ∗ β ∗ 3 = 0 (9.112)
β ∗ = (β ∗ 1, β ∗ 2, β ∗ 3) = (βx, γ −1
x βy, 0) (9.113)
v ∗ = c β ∗ = (c βx, c γ −1
x βy, 0) (9.114)
Vi har altså vist, at sammensætning af to Lorentztransformationer, hvor