nr. 475 - 2010 - Institut for Natur, Systemer og Modeller (NSM)

6.3 Ladet partikel i magnetfelt 101
tivistiske kastelængde
∆ x = x rel
max − x urel
max =
c
F
m
u2 0 − u2
0y
ln
1 − u2 0
c 2
f ′ (z) = 2
− 2
1 − z2 u0y 1+ c
1− u0y c
− 2 u0y
c
1 − u2 0
c 2
(6.82)
Parentesen i ovenstående ligning er en funktion af formen
f(z) = ln
1+z − 2 z 1 − 1−z
u20 c2 for 0 ≤ z < 1 (6.83)
med differentialkvotienten
1 − u2 0
c 2
(6.84)
Der gælder f ′ (z) > 0, således at f er voksende. Endvidere er f(0) = 0. Altså
er f(z) > 0 for z > 0, og dermed er ∆ x > 0. Heraf følger, at den relativistiske
kastelængde er større end den urelativistiske kastelængde.
Tilsvarende ses på forskellen på de to maksimalhøjder
∆ y = y rel
max − y urel
max =
c2
1 − 1 − u2 0y
c2 1 − 2
F
m
1 − u2 0
c 2
u 2 0y
c 2
1 − u2 0
c 2
(6.85)
Lad os på parentesen i ovenstående ligning. Denne indeholder en funktion af
formen
g(z) = 1 − √ 1 − z − 1
2 z
med differentialkvotienten
g ′ (z) =
1 − u2 0
c 2 for 0 ≤ z < 1 (6.86)
1
2 √
1 − 1 − 2
1 − z u20 c2 (6.87)
Der gælder g ′ (z) > 0, således at g er voksende. Endvidere er g(0) = 0. Altså
er ∆ y > 0, og dermed er den relativistiske maksimalhøjde større end den
urelativistiske maksimalhøjde.
6.3 Ladet partikel i magnetfelt
En partikel med masse m og elektrisk ladning q sendes ind i et område med
et tidsuafhængigt homogent magnetfelt B. Bevægelsesligningen er
d
dt
m u
1 − ( u
c )2 = q u × B (6.88)