nr. 475 - 2010 - Institut for Natur, Systemer og Modeller (NSM)

134 Firevektorer
A kan angives v.hj.a. den sædvanlige hastighed u og den sædvanlige acceleration
a = . For at gøre dette ser vi på højre side af ligning (9.51)
d γ
d t fås
d u
d t
d U
d τ
= d t
d τ
d U
d t
= γ
c
d γ d γ
,
d t d t
d u
u + γ
d t
(9.52)
For
d γ 1 = γ3
c d t 2 u · a (9.53)
således at det søgte udtryk for fireaccelerationen bliver
A =
1
c γ4 u · a, γ 2 4 u · a
a + γ u
c2 (9.54)
Da U 2 = c2 d U
, se ligning (9.50), er 2 U · = 0. Dvs. U ·A = 0. Firehastigheden
d τ
og fireaccelerationen er altså ortogonale.
9.6 Fireimpuls
9.6.1 Definition af fireimpuls
Ved at gange firehastigheden U med partiklens masse m fås en ny firevektor
P
P = m U = E
, p
(9.55)
c
som kaldes fireimpulsen. Da vi nu ved, at fireimpulsen er en firevektor, kan
vi umiddelbart opskrive dens transformation fra inertialsystemet S til inertialsystemet
S ′ og derved mere elegant finde transformationen for energi og
impuls (se ligningerne (4.67) til (4.70)), som vi møjsommeligt udledte i afsnit
(4.5).
For fireimpulsen fås endvidere
P 0 2 − P 2 = m 2 c 2
(9.56)
altså som ventet igen en invariant størrelse. Ligning (9.56) er blot en anden
udgave af den relativistiske Pythagoras ligning (4.43).
Da alle fireimpulser for partikler med hvilemasse forskellig fra nul opfylder
egenskaben om at være tidsagtige og med positiv tidskomponent, er den
samlede fireimpuls for et partikelsystem af sådanne partikler også tidsagtig.
Ligeledes vil den samlede fireimpuls for et partikelsystem, som blot indeholder
en partikel med hvilemasse forskellig fra nul, også være tidsagtig. Vi
kan defor altid finde et inertialsystem, så rumdelen af systemets fireimpuls