nr. 475 - 2010 - Institut for Natur, Systemer og Modeller (NSM)

146 Firevektorer
Hastigheden v = (v, 0, 0) i S ′′ er i S, her benyttes ligningerne (3.41) - (3.43)
netop v ⋆ , se ligning (9.124)
v ⋆
= (v 1 −
w 2,
w, 0) (9.127)
c
At de fundne vektorer v ∗ og v ⋆ er forskellige, afspejler altså at rækkefølgen
en hastighedssammensætning foregår i med udgangspunkt i Lorentztransformationen
er vigtig. Hvis hastighedssammensætningen foretages med
udgangspunkt i Galileitransformationen spiller rækkefølgen ingen rolle. Her
finder vi nemlig v ∗ = v ⋆ = (v, w, 0) og dermed φ = 0 o . Ligeledes finder vi her
θ ∗ = θ ⋆ = 0 o , idet sammensætning af to Galileitransformationer ikke giver
anledning til nogen drejning af systemerne i forhold til hinanden.
9.10 Harmonisk bølge
En harmonisk bølge er i et inertialsystem beskrevet ved et udtryk af formen
ψ(t, r) = A cos( k ·r −ω t) = A cos( k ·r − ω
c c t), hvor k er bølgevektoren, hvis
retning bestemmer bølgens udbredelsesretning, og hvis længde er bestemt
af bølgelængden λ ved | 2 π k| = . ω hænger sammen med frekvensen f via
λ
ω = 2 π f, og for elektromagnetiske bølger (f.ex. lys) gælder jo endvidere
c = f λ. Da en iagttager i S og en iagttager i S ′ er enige om, hvor bølgen har
bølgedale og bølgetoppe må fasen φ = k · r − ω c t være invariant. Da (c t, r)
c
er en firevektor, følger det af sætningen i afsnit (9.3.1), at K = ( ω
c , k) er en
firevektor. Vi kan derfor uden videre opskrive K’s transformationsegenskaber
K ′ 0 ω
= ′
c
K ′ 1 ′ 1
= k
K ′ 2 = k ′ 2
K ′ 3 = k ′ 3
= γ(K 0 − β K 1 ) = γ( ω
c − β k1 )
= γ(K
(9.128)
1 − β K 0 ) = γ(k 1 − β ω
)
c
(9.129)
= K 2 = k 2
(9.130)
= K 3 = k 3
(9.131)
Hvis der specielt gælder k 2 = k 3 = 0, dvs. bølgen udbreder sig i x-aksens
retning, fås af ligningerne (9.128) og (9.129)
ω ′
c
= γ(ω
c − β k1 ) (9.132)
k ′ 1 1 ω
= γ(k − β ) (9.133)
c