nr. 475 - 2010 - Institut for Natur, Systemer og Modeller (NSM)

2.5 Dobbelt Lorentztransformation 19
I ligning (2.33) indsættes nu resultaterne fra ligningerne (2.25) og (2.28).
Dette giver ved en lille regning
x =
x (1 + w v
c2 ) − t (w + v)
1 −
w 2
1 − c
v 2
c
(2.35)
Da ligning (2.35) skal være opfyldt for alle (x, t), skal w + v = 0, og dermed
er w = −v, hvilket sikrer opfyldelsen af ligning (2.35). En tilsvarende regning
med udgangspunkt i ligning (2.34) giver samme resultat. Altså er det
godtgjort, at S bevæger sig med hastighed −v i forhold til S ′ .
2.5 Dobbelt Lorentztransformation
Vi ser her på tre inertialsystemer S, S ′ og S ′′ . S ′ bevæger sig med hastighed
v i forhold til S langs x, x ′ -aksen, og S ′′ bevæger sig med hastighed w i
forhold til S ′ langs x ′ , x ′′ -aksen. Til tiden t = t ′ = t ′′ = 0 er de tre systemer
sammenfaldende. Hvis vi udfører først en Lorentztransformation fra S til
S ′ og dernæst en Lorentztransformation videre fra S ′ til S ′′ , har vi fået en
transformation fra S til S ′′ . Det vil være naturligt at forvente, at dette må
kunne beskrives som en Lorentztransformation fra S til S ′′ . Dette vil vi nu
vise eksplicit. For de to givne transformationer gælder
x ′ =
x − v t
1 − v
c
2
x ′′ = x′ − w t ′
2 1 − w
c
t ′ =
v t − c2 x
1 − v
c
2
t ′′ = t′ − w
c2 x ′
1 − w
c
Ved et lille regnestykke, hvor ligning (2.37) indsættes i ligning (2.36), fås
x ′′ =
t ′′ =
x − v+w
v w
1+
c2 t
1 −
v 2
1 − c
w
c
t − v+w
v w
1+
c2 1
c2 x
1 −
v 2
1 − c
w
c
2 1
v w
1+
c2 2 1
v w
1+
c2 2
(2.36)
(2.37)
(2.38)
(2.39)
Tællerne i de to ligninger (2.38) og (2.39) ser fornuftige ud med S ′′ ’s hastighed
V i forhold til S givet ved
v + w
V =
1 +
(2.40)
v w
c 2