nr. 475 - 2010 - Institut for Natur, Systemer og Modeller (NSM)

3.4 Acceleration 35
3.4 Acceleration
Vi vil i dette afsnit finde transformationsreglen for acceleration. En partikel
d u
har i inertialsystemet S hastigheden u og accelerationen a = . Ved at
d t
udtrykke u ved v og u ′ (se ligningerne (3.36) til (3.38)) samt ved at benytte
(se ligning (3.30))
1 −
v 2
c
(3.48)
d t ′
d t =
1 + u′ x v
c 2
finder vi sammenhængen mellem acceleration a ′ = d u ′
d t ′ i inertialsystemet S ′
og accelerationen a i inertialsystemet S
som efter nogen regning giver
ax =
ay = −
az = −
a =
d u
d t
v 1 − ( c )2
1 + u′ x v
c2 3 a ′ x
v 1 − ( c )2
(1 + u′ x v
c2 ) 3
v 1 − ( c )2
(1 + u′ x v
c2 ) 3
= d u
d t ′
v u ′ y
c 2 a′ x +
v u ′ z
c 2 a′ x +
d t ′
d t
(3.49)
(3.50)
1 − ( v
c )2
(1 + u′ x v
c 2 ) 2 a′ y (3.51)
1 − ( v
c )2
(1 + u′ x v
c 2 ) 2 a′ z (3.52)
Accelerationen er altså langt fra at være invariant under en Lorentztransformation
i modsætning til accelerationens invarians under en Galileitransformation.
Desuden ses, at accelerationens transformationsegenskab ser noget
"kedelig" ud. Den har på ingen måde samme form som den pæne Lorentztransformation
af tid og sted.
3.4.1 Acceleration i én dimension
Lad os nu se på en partikel, der bevæger sig langs x-aksen, altså et endimensionalt
problem. I inertialsystemet S er dens øjeblikkelige hastighed u,
og dens øjeblikkelige acceleration er a. Vi kan ved at benytte ligning (3.50)
angive sammenhængen mellem accelerationen a i inertialsystemet S og ac-