nr. 475 - 2010 - Institut for Natur, Systemer og Modeller (NSM)

9.10 Harmonisk bølge 147
Ligningerne (9.132) og (9.133) omskrives under brug af ω = 2 π f, ω ′
=
2 π f ′
, k = , k′ = 2 π samt λ f = λ ′
f ′
= c
2 π
λ
λ ′
2 π f ′
c = γ2 π f
c
f ′ = f γ (1 − β) = f
f ′ = f
2 π f
− β ⇔ (9.134)
c
1 − v
c
1 − ⇔ (9.135)
v 2
c
1 − v
c
1 + v
c
(9.136)
Ligning (9.136) er netop den tidligere udledte ligning (3.85) for den longitudinale
Dopplereffekt.
I det generelle tilfælde kan vi vælge koordinatsystemet, så k = (k cos(α), k sin(α), 0),
hvor k =
2 π f
c . Ligningerne (9.128) til (9.130) bliver da
Ligning (9.137) giver
2 π f ′
c = γ 2 π f 2 π f
− β cos(α)
c c
2 π f
(9.137)
′
cos(α
c
′ ) = γ 2 π f
2 π f
cos(α) − β
c
c
(9.138)
2 π f ′
sin(α
c
′ 2 π f
) =
c
sin(α) (9.139)
f = f ′
1 − β2 1 − β cos(α)
Da α = π − θ, se Fig. (3.8), bliver ligning (9.140)
f = f ′
1 − β2 1 + β cos(θ)
(9.140)
(9.141)
som er det generelle udtryk for Dopplereffekten, vi fandt tidligere (se ligning
(3.97)). Af ligning (9.138) fås med brug af ligning (9.140)
cos(α ′ ) =
cos(α) − β
1 − β cos(α)
(9.142)
som er den tidligere udledte ligning (3.22) for sammenhængen mellem en
lysstråles retning i de to inertialsystemer.