nr. 475 - 2010 - Institut for Natur, Systemer og Modeller (NSM)

120 Invarians af Maxwells ligninger
Men ligningerne (8.21) og (8.22) er jo netop to af Maxwells ligninger (8.6)
og (8.7) opskrevet i inertialsystemet S ′ . Dvs. disse to ligninger er Lorentzinvariante.
Ligning (8.8) omskrives
∂E ′
x
− −
∂z ′ ∂
∂t ′
′
γ (E z − v B ′ y) v
c2 ∂
γ +
∂x ′ (γ (E′ z − v B ′
y)γ =
∂
−
∂t ′
′
γ B y − v
c2 E′ ∂
z γ −
∂x ′
′
γ B y − v
c2 E′
z v γ ⇔ (8.23)
∂E ′ x
∂z ′ − ∂E′ z
∂x ′ = −∂B′ y
∂t ′
(8.24)
Ligning (8.24) Maxwells ligning (8.8) i inertialsystemet S ′ . Igen er invariansen
af en Maxwellligning hermed vist. Invariansen af ligning (8.9) kan gennemføres
helt analogt.
Dernæst ser vi på ligning (8.5) med udnyttelse af c 2 = 1
µo ɛo
− ∂E′ x
∂t ′
v
c2 γ + ∂E′ x
∂x
∂
γ + ′ ∂y ′ (γ(E′ y + v B ′ z)) + ∂
∂z ′ (γ(E′ z − v B ′ y)) = 0 ⇔
∂E ′ x
∂x ′ + ∂E′ y
∂y ′ + ∂E′ z
∂z ′
∂B
+ v ′ z
∂y ′ − ∂B′ y 1
−
∂z ′ c2 ∂E ′ x
∂t ′
= 0 ⇔
∂E ′ x
∂x ′ + ∂E′ y
∂y ′ + ∂E′ z
∂z ′
∂B
+ v ′ z
∂y ′ − ∂B′ y
∂z ′ − µo
∂E
ɛo
′ x
∂t ′
= 0 (8.25)
Endelig får ligning (8.10) samme behandling
∂
∂y ′
′
γ B z + v
c2 E′ ∂
y −
∂z ′
′
γ B y − v
c2 E′ ∂E
z = µo ɛo
′ x
∂t ′ γ − ∂E′ x
∂x ′ v γ ⇔
v
c2 ∂E ′ x
∂x ′ + ∂E′ y
∂y ′ + ∂E′ z
∂z ′
∂B
+ ′ z
∂y ′ − ∂B′ y
∂z ′ − µo
∂E
ɛo
′ x
∂t ′
= 0 (8.26)
Hvis ligningerne (8.25) og (8.26) skal gælde for alle v, må følgende være
opfyldt
∂E ′ x
∂x ′ + ∂E′ y
∂y ′ + ∂E′ z
∂z
∂B ′ z
∂y ′ − ∂B′ y
∂z ′ = µo
∂E
ɛo
′ x
∂t ′
′ = 0 (8.27)
(8.28)
Ligningerne (8.27) og (8.28) er netop Maxwellligningerne (8.5) og (8.10).
Altså igen er det vist, at to af Maxwllligningerne er Lorentzinvariante.
De resterende ligningers invarians vises på samme måde.