nr. 475 - 2010 - Institut for Natur, Systemer og Modeller (NSM)

130 Firevektorer
Vi har tidligere vist, at A 2 er invariant. Ved anvendelse af dette viser følgende
regning, at også skalarproduktet mellem to firevektorer er invariant
(A + B) 2 = A 2 + B 2 + 2 A · B (9.22)
da det heraf fremgår, at skalarproduktet kan udtrykkes ved invariante størrelser.
Afhængig af fortegnet for A2 gives A følgende navne
A 2
⎧
⎪⎨ > 0 A siges at være tidsagtig
= 0
⎪⎩
< 0
A siges at være lysagtig
A siges at være rumagtig
(9.23)
Sætning 1 . Lad A være en tidsagtig firevektor. Da findes et inertialsystem,
så det for rumdelen af A gælder A = o.
Bevis. Vi drejer den rumlige del af inertialsystemet, så vi får et inertialsystem
S med A = (A 0 , A 1 , 0, 0), hvor |A 0 | > |A 1 |, da A er tidsagtig. Det vi
søger, er et inertialsystem S ′ med hastighed v i forhold til S så A ′ = o. Dette
krav medfører
A ′1 = γ (A 1 − β A 0 ) = 0 ⇔ (9.24)
β = A1
A0 ⇒ (9.25)
|β| < 1 (9.26)
da |A 0 | > |A 1 |. Dvs. det er altid muligt at finde et inertialsystem, således at
rumdelen af firevektoren A er nulvektoren.
Sætning 2 . Lad A og B være tidsagtige firevektorer med positive tidskomponenter.
Da er A · B > 0. Endvidere er A + B tidsagtig med positiv tidskomponent.
Bevis. At tidskomponenten af summen er positiv er oplagt. I følge forudsætningen
er A 0 > | A| og B 0 > | B|. Heraf følger
A 0 > | A| ∧ B 0 > | B| ⇒ (9.27)
A 0 B 0 > A · B ⇔ (9.28)
A 0 B 0 − A · B > 0 (9.29)