nr. 475 - 2010 - Institut for Natur, Systemer og Modeller (NSM)

128 Firevektorer
(x0 , x1 , x2 , x3 ), kaldes en firevektor. Altså transformationen1 for (A0 , A1 , A2 , A3 )
er ⎛ ⎞
′ 0 A
⎜ ′ 1
⎜A
⎟
⎝ ′ 2 A ⎠
′ 3 A =
⎛
γ
⎜
⎜−β
γ
⎝ 0
−β γ
γ
0
0
0
1
⎞ ⎛
0 A
0⎟
⎜
⎟ ⎜
0⎠
⎝
0 0 0 1
0
A1 A2 A3 ⎞
⎟
⎠
(9.12)
0’te komponenten af A, A 0 , kaldes tidsdelen af A, og de sidste tre komponenter
af A kaldes rumdelen af A og skrives ofte som A = (A 1 , A 2 , A 3 ).
Eksempler på firevektorer udover (x 0 , x 1 , x 2 , x 3 ) er sættet bestemt af en par-
tikels energi og impuls ( E
c
, p) = ( E
c , px, py, pz) kaldet fireimpulsen, se afs-
nit (9.6), samt sættet bestemt af ladningstæthed og strømtæthed (c ρ, j) =
(c ρ, jx, jy, jz) kaldet firestrømtætheden. Se afsnit (8.2) for hvorledes ρ og
j transformerer. Endvidere vil vi se i afsnit (9.10), at bølgevektoren for en
harmonisk bølge indgår i en firevektor.
9.2 Regning med firevektorer
Summen af to firevektorer A = (A 0 , A 1 , A 2 , A 3 ) og B = (B 0 , B 1 , B 2 , B 3 )
defineres ved komponentvis summation, dvs. A+B = (A 0 +B 0 , A 1 +B 1 , A 2 +
B 2 , A 3 + B 3 ).
Ligeledes defineres et tal λ gange en firevektor ved λ A = (λ A 0 , λ A 1 , λ A 2 , λ A 3 ),
dvs. komponentvis multiplikation med λ.
Det vises let, at både A + B og λ A opfylder betingelsen for at være firevektorer,
da transformationen ligning (9.12) er lineær.
Det er en umiddelbar følge af en firevektors transformationsegenskab (ligning
(9.12)) at
A 0 2 − A 1 2 − A 2 2 − A 3 2 = A ′0 2 − A ′1 2 − A ′2 2 − A ′3 2
(9.13)
Det vil altså sige at A0 2 1 2 2 2 3 2
− A − A − A er en invariant størrelse under
transformationen ligning (9.12). Størrelsen A0 2 1 2 2 2 3 2
− A − A − A er analog
til en sædvanlig vektors længde kvadreret, men i modsætning til denne er
den ikke positiv definit, men indefinit.
Ved at indføre metrikken gµν defineret ved matrixformen af den
⎛
⎞
1 0 0 0
⎜
gµν = ⎜0
−1 0 0 ⎟
⎝0
0 −1 0 ⎠
(9.14)
0 0 0 −1
1 Vi ser på standardtransformationen her.