nr. 475 - 2010 - Institut for Natur, Systemer og Modeller (NSM)

3.8 Vinkeltransformation 39
vinklen til θ bestemt ved
tan(θ) = |AB|S
|O ′ A|S
= |AB|S ′
1 − ( v
c )2 = tan(θ′ )
v 1 − ( c )2
(3.63)
Hvis den vinkel, vi ønsker at transformere, ikke har det ene ben liggende
langs (eller parallel med) x, x ′ -aksen, kan vi dele den op i to vinkler, der hver
for sig har det ene ben liggende langs x, x ′ -aksen. I S ′ er vinklen θ ′ altså delt
op i θ ′ = θ ′ 1 + θ ′ 2. Se Fig. (3.3).
y
S
x
Figur 3.3: Vinkeltransformation for et stykke vinkeljern med vilkårlig placering
af vinklens ben.
Disse vinkler kan hver for sig transformeres til S ved hjælp af ligning (3.63)
y ′
tan(θ1) = tan(θ′ 1)
1 − ( v
c )2
tan(θ2) = tan(θ′ 2)
1 − ( v
c )2
S ′
v
θ ′ 1
θ ′ 2
x ′
(3.64)
(3.65)
1
Ved at benytte den trigonometriske relation cos2 (θ) = 1 + tan2 (θ) omskrives
ligning (3.64) til
cos(θ1) = cos(θ′ 1) 1 − ( v
c )2
1 − cos2 ′ (θ 1) ( v
c )2
(3.66)
Dette giver umiddelbart også
sin(θ1) =
sin(θ ′ 1)
1 − cos 2 (θ ′ 1) ( v
c )2
(3.67)
Tilsvarende relationer findes for θ2, θ ′ 2. Vinklen der måles i S er θ = θ1 + θ2.
Ved at anvende den trigonometriske relation cos(θ1 + θ2) = cos(θ1) cos(θ2) −