nr. 475 - 2010 - Institut for Natur, Systemer og Modeller (NSM)

8.1 Maxwells ligninger i vakuum 119
Lad en fysisk størrelse F være en funktion af t og x samt y og z. Da t og x er
funktioner af t ′ og x ′ som angivet i ligning (8.14), gælder ifølge kædereglen
Endvidere gælder
∂F
∂t
∂F
∂x
∂F
=
∂t ′
= ∂F
∂t
∂t ′
∂t
+ ∂F
∂x ′
∂x ′
∂t
∂F
γ − v γ (8.15)
′ ∂x ′
∂F
=
∂t ′
∂t ′
∂x
= − ∂F
∂t ′
v
c
∂F
∂y
∂F
∂z
= ∂F
∂y ′
= ∂F
∂z ′
+ ∂F
∂x ′
∂x ′
∂x
∂F
γ + γ (8.16)
2 ∂x ′
(8.17)
(8.18)
Ved at benytte transformationsreglerne for det elektriske felt og for det magnetiske
felt (se ligningerne (7.23) til (7.24)) samt ovenstående differentiationsregler
omskrives ligning (8.7)
∂
∂y ′ (γ (E′ z − v B ′ y)) − ∂
∂z ′ (γ (E′ y + v B ′ z)) = −(γ ∂
∂t ′ B′ x − γ v ∂
∂x ′ B′ x) ⇔
∂E ′ z
∂y ′ − ∂E′ y
∂z ′ + ∂B′ x
∂t ′
∂B
− v ′ x
∂x ′ + ∂B′ y
∂y ′ + ∂B′ z
∂z ′
= 0 (8.19)
Ligeledes omskrives ligning (8.6)
− v
c 2 γ ∂B′ x
∂t ′ + γ ∂B′ x
∂x
∂
+ ′ ∂y ′
′
γ B y − v
c2 E′ ∂
z +
∂z ′
′
γ B z + v
c2 E′
y = 0 ⇔
− v
c2 ∂E ′ z
∂y ′ − ∂E′ y
∂z ′ + ∂B′ x
∂t ′
∂B
+ ′ x
∂x ′ + ∂B′ y
∂y ′ + ∂B′ z
∂z ′
= 0 (8.20)
Hvis ligningerne (8.19) og (8.20) skal gælde for alle v, må følgende være
opfyldt
∂B ′ x
∂x ′ + ∂B′ y
∂y ′ + ∂B′ z
∂z
′ = 0 (8.21)
∂E ′ z
∂y ′ − ∂E′ y
∂z ′ = −∂B′ x
∂t ′
(8.22)