nr. 475 - 2010 - Institut for Natur, Systemer og Modeller (NSM)

124 Invarians af Maxwells ligninger
Da ligningerne (8.51) og (8.52) skal gælde for alle v, slutter vi
∂E ′ x
∂x ′ + ∂E′ y
∂y ′ + ∂E′ z ρ′
=
∂z ′
ɛo
∂B ′ z
∂y ′ − ∂B′ y
∂z ′ = µo j ′ x + µo ɛo
∂E ′ x
∂t ′
(8.53)
(8.54)
Hvilket netop er Maxwellligningerne (8.43) og (8.48) i inertialsystemet S ′ .
Ligning (8.49) omskrives analogt med (8.48). Efter nogen rumsteren rundt
fås her
∂B ′ x
∂z ′ − ∂B′ z
∂x ′ (1 − µo ɛo v 2 ) γ 2 ∂E
= µo ɛo
′ y
∂t ′
v 2 2
1 − γ + µo j
c
′ y (8.55)
Ved at udnytte (1 − µo ɛo v2 ) γ2 = 1 − omskrives til
v 2
2 γ c = 1 kan ligning (8.55)
∂B ′ x
∂z ′ − ∂B′ z
∂x ′ = µo j ′ y + µo ɛo
∂E ′ y
∂t ′
(8.56)
som netop er Maxwelligning (8.49) i S ′ .
Ligning (8.50) behandles helt analogt med dette. Ligningerne (8.44) til (8.47)
vises helt som før i det kildefrie tilfælde.
Konklusionen er, at også Maxwells ligninger med kilder er af samme form i
alle inertialsystemet. Dvs. disse ligninger er Lorentzinvariante.
8.4 Bølgeligningen
Bølgeligningen for det elektriske og for det magnetiske felt er en følge af
Maxwells ligninger (8.1) til (8.4)
og
∂ 2
∂x
∂ 2
∂x
∂y
∂z 2
∂2 ∂2
+ + 2 2
∂y
∂z 2
∂2 ∂2
+ + 2 2
E − µo ɛo
B − µo ɛo
∂2 E = 0 (8.57)
∂t2 ∂2 B = 0 (8.58)
∂t2 Da disse bølgeligninger udeledes direkte fra Maxwells ligninger, og da Maxwells
ligninger er Lorentzinvariante, har bølgeligningen samme form i alle inertialsystemer,
og dermed er udbredelsesfarten for de elektromagnetiske bølger
også den samme i alle inertialsystemer i overensstemmelse med den
grundlæggende antagelse i relativitetsteorien, nemlig at lysets fart har samme
værdi i alle inertialsystemer.