nr. 475 - 2010 - Institut for Natur, Systemer og Modeller (NSM)

78 Relativistisk dynamik: Partikelsystemer
Vi ønsker at finde fotonenergien E1 som funktion af vinklen θ for fast værdi
af den indkommende antipartikels energi E.
Af ligning (5.26) findes
cos(φ) = ± 1 −
E1
2 2 sin (θ) (5.27)
E2
Dette indsættes i ligning (5.25), og der rumsteres
p − E1
c cos(θ)
2 = E2 2
c2
1 −
E1
2 2
sin (θ)
E2
Med brug af E2 = m c 2 + E − E1 fra ligning (5.24) kan vi nu finde E1
E1 =
m c2 (m c 2 + E)
m c 2 + E − c p cos(θ)
Tilsvarende findes den anden fotons energi
E2 =
m c2 (m c 2 + E)
m c 2 + E − c p cos(φ)
(5.28)
(5.29)
(5.30)
Det ses, at E1 er maksimal for θ = 0 o , altså med fotonens impuls i forlæns
retning. E1 er minimal for θ = 180 o , dvs. fotonens impuls er bagudrettet. For
θ = 0 o er φ = 180 o , og for θ = 180 o er φ = 0 o , således at maksimal energi for
den ene foton svarer til minimal energi for den anden foton og vice versa.
Den maksimale og den minimale energi er, idet vi benytter c p = √ E 2 − m 2 c 4
E maks =
E min =
m c 2 (m c 2 + E)
m c 2 + E − √ E 2 − m 2 c 4
m c 2 (m c 2 + E)
m c 2 + E + √ E 2 − m 2 c 4
(5.31)
(5.32)
For lave hastigheder v af antipartiklen er E ≈ m c2 og p ≈ m v, således
at
E1 = E2 ≈ m c2 · 2 m c2 = m c 2
(5.33)
2 m c 2
uafhængig af vinklen θ.
For meget store hastigheder af antipartiklen er E ≫ m c 2 og c p ≈ E. For
den mindste energi af fotonen gælder da
E min =
m c2 (m c2 + E)
m c2 + E + √ E2 − m2 c4 ≈ m c2 E
2 E
1 = m c2
2
(5.34)