nr. 475 - 2010 - Institut for Natur, Systemer og Modeller (NSM)

More documents

Recommendations

Info

142 Firevektorer Matricen Λ er ikke symmetrisk. Dermed kan transformationen fra S til S ′′ ikke være en Lorentztransformation, hvor S ′′ bevæger sig med de rumlige akser parallelle med de rumlige akser i S. Vi vil vise, at denne transformation er givet ved en Lorentztransformation af inertialsystemet S til inertialsystemet S ∗ , hvor S ∗ bevæger sig med de rumlige koordinatakser parallelle med akserne i S, efterfulgt af en drejning af den rumlige del af S ∗ til den rumlige del af S ′′ , og hvor tiderne under drejningen er ens. Vi skal altså finde en matrix Λ ∗ , der beskriver Lorentztransformationen, og en matrix D, der beskriver drejningen. Disse matricer skal opfylde ligningen Λ = D Λ ∗ (9.103) Da z-retningen ingen rolle spiller her for transformationerne af x og y, må drejningen være om netop z∗-aksen. Drejningsmatricen er derfor af formen ⎛ 1 ⎜ D = ⎜0 ⎝ 0 cos(θ 0 0 ∗ ) sin(θ∗ 0 − sin(θ ) 0 ∗ ) cos(θ∗ ) ⎞ ⎟ 0⎠ (9.104) 0 0 0 1 hvor θ ∗ er vinklen, den rumlige del af S ∗ skal drejes for at falde sammen med den rumlige del af S ′′ . Af ligningerne (9.102) og (9.103) fås Λ[y] Λ[x] = D Λ ∗ ⇔ Λ ∗ = D −1 Λ[y] Λ[x] (9.105) hvor D−1 er den inverse matrix til D D −1 ⎛ 1 0 0 0 ⎜ = ⎜0 cos(θ ⎝ ∗ ) − sin(θ∗ ⎞ ) 0 ⎟ ⎠ 0 sin(θ ∗ ) cos(θ ∗ ) 0 0 0 0 1 (9.106) Af ligningerne (9.102), (9.105) og (9.106) fås Λ ∗ ⎛ 1 ⎜ = ⎜0 ⎝ 0 cos(θ 0 0 ∗ ) − sin(θ∗ 0 sin(θ ) 0 ∗ ) cos(θ∗ ) ⎞ ⎛ γx γy ⎟ ⎜ −γx βx ⎟ ⎜ 0⎠ ⎝−γx γy βy −γx γy βx γx γx γy βx βy −γy βy 0 γy ⎞ 0 0 ⎟ 0⎠ 0 0 0 1 0 0 0 1 ⎛ γx γy ⎜−γx βx = ⎜ cos(θ ⎝ −γx γy βx −γy βy 0 ∗ ) + γx γy βy sin(θ∗ ) γx cos(θ∗ ) − γx γy βx βy sin(θ∗ ) −γy sin(θ∗ −γx βx sin(θ ) 0 ∗ ) − γx γy βy cos(θ∗ ) γx sin(θ∗ ) + γx γy βx βy cos(θ∗ ) γy cos(θ∗ ) ⎞ ⎟ 0⎠ 0 0 0 (9.107) 1
9.9 Lorentztransformationen tager en drejning 143 Denne matrix skal være symmetrisk. Dvs. der skal gælde Λ ∗1 2 = Λ ∗2 1, altså eller Af ligning (9.108) findes −γy sin(θ ∗ ) = γx sin(θ ∗ ) + γx γy βx βy cos(θ ∗ ) ⇔ tan(θ ∗ ) = − γx γy βx βy γx + γy cos(θ ∗ ) = γx + γy 1 + γx γy βx βy tan(θ ∗ ) = − 1 − β2 x + 1 − β2 y og sin(θ ∗ ) = − γx γy βx βy 1 + γx γy (9.108) (9.109) (9.110) Vha. af ligning (9.110) kan vi checke, at de øvrige matrixelementer af matricen i ligning (9.107) også opfylder kravet om symmetri. Eksplicit finder vi, at Λ∗ er Λ ∗ ⎛ γx γy −γx γy βx −γy βy 0 ⎜ ⎜−γx γy βx 1 + = ⎜ ⎝ γ2 x γ2 y β2 x γx γ 1+γx γy 2 y βx βy 0 1+γx γy γx γ −γy βy 2 ⎞ ⎟ (9.111) y βx βy γy (γx+γy) 0⎠ 1+γx γy 1+γx γy 0 0 0 1 som altså er den matrix, der bestemmer transformationen fra S til S ∗ . Hastighe- den af S ∗ , v ∗ = c β ∗ , i forhold til S aflæses ved at se på 0’te søjlerne af matricerne i ligningerne (9.11) og (9.111). Dette giver med γ∗ = (1 − β∗2 1 − ) 2 og β∗ = | β∗ | heraf fås og dermed γ ∗ = γx γy γ ∗ β ∗ 1 = γx γy βx γ ∗ β ∗ 2 = γy βy γ ∗ β ∗ 3 = 0 (9.112) β ∗ = (β ∗ 1, β ∗ 2, β ∗ 3) = (βx, γ −1 x βy, 0) (9.113) v ∗ = c β ∗ = (c βx, c γ −1 x βy, 0) (9.114) Vi har altså vist, at sammensætning af to Lorentztransformationer, hvor
Page 1 and 2:
- I, OM OG MED MATEMATIK OG FYSIK S
Page 3:
Supplerende regnestykker til Den sp
Page 6 and 7:
ii Abstract eller ej I stedet for e
Page 9 and 10:
Indhold 1 Galileitransformationen 1
Page 11 and 12:
INDHOLD vii 6.2.2 Nogle resultater
Page 13 and 14:
Kapitel 1 Galileitransformationen D
Page 15 and 16:
1.2 Lysets fart 3 1.2.1 Michelson-M
Page 17 and 18:
1.2 Lysets fart 5 I II v c c v+ v
Page 19 and 20:
1.2 Lysets fart 7 hvor c er lysets
Page 21 and 22:
1.2 Lysets fart 9 stor, men altid e
Page 23 and 24:
Kapitel 2 Lorentztransformationen I
Page 25 and 26:
2.2 Måling af tid og længde 13 pu
Page 27 and 28:
2.4 Transformation af x og t 15 rø
Page 29 and 30:
2.4 Transformation af x og t 17 Af
Page 31 and 32:
2.5 Dobbelt Lorentztransformation 1
Page 33 and 34:
2.6 Den generelle Lorentztransforma
Page 35 and 36:
2.6 Den generelle Lorentztransforma
Page 37 and 38:
Kapitel 3 Kinematiske konsekvenser
Page 39 and 40:
3.1 Invarians 27 som (t, x, y, z) g
Page 41 and 42:
3.1 Invarians 29 eller 1 c > ∆
Page 43 and 44:
3.3 Hastighedstransformation 31 hvo
Page 45 and 46:
3.3 Hastighedstransformation 33 For
Page 47 and 48:
3.4 Acceleration 35 3.4 Acceleratio
Page 49 and 50:
3.6 Lorentzforkortningen 37 ligning
Page 51 and 52:
3.8 Vinkeltransformation 39 vinklen
Page 53 and 54:
3.10 Aberration 41 c ∆t ′ A v c
Page 55 and 56:
3.11 Dopplereffekt 43 I systemet S
Page 57 and 58:
3.11 Dopplereffekt 45 Den urelativi
Page 59 and 60:
3.11 Dopplereffekt 47 θ v A B Iagt
Page 61 and 62:
Kapitel 4 Relativistisk dynamik: In
Page 63 and 64:
4.2 Relativistisk impuls 51 y S −
Page 65 and 66:
4.2 Relativistisk impuls 53 y S Fig
Page 67 and 68:
4.3 Kraft 55 Da funktionen g nu er
Page 69 and 70:
4.3 Kraft 57 Ligning (4.28) benytte
Page 71 and 72:
4.4 Relativistisk energi 59 For lav
Page 73 and 74:
4.5 Transformation af impuls og ene
Page 75 and 76:
4.5 Transformation af impuls og ene
Page 77 and 78:
4.7 Ækvivalensen mellem masse og e
Page 79 and 80:
4.8 Lys 67 hvor E1 og E2 er energie
Page 81 and 82:
4.8 Lys 69 4.8.2 Vilkårlig retning
Page 83 and 84:
4.8 Lys 71 Iagttager Kilde Figur 4.
Page 85 and 86:
Kapitel 5 Relativistisk dynamik: Pa
Page 87 and 88:
5.2 Partikelproduktion 75 ved den s
Page 89 and 90:
5.4 Annihilation 77 Da vi nu har fu
Page 91 and 92:
5.5 CM-system og LAB-system 79 og d
Page 93 and 94:
5.6 Massebevarelse i urelativistisk
Page 95 and 96:
5.6 Massebevarelse i urelativistisk
Page 97 and 98:
Kapitel 6 Relativistisk dynamik: Be
Page 99 and 100:
6.1 Ladet partikel i elektrisk felt
Page 101 and 102:
6.1 Ladet partikel i elektrisk felt
Page 103 and 104: 6.1 Ladet partikel i elektrisk felt
Page 105 and 106: 6.2 Det skrå kast 93 n = 1 1 −
Page 107 and 108: 6.2 Det skrå kast 95 = x(t) = F m
Page 109 and 110: 6.2 Det skrå kast 97 y = F m c 2
Page 111 and 112: 6.2 Det skrå kast 99 Også dette r
Page 113 and 114: 6.3 Ladet partikel i magnetfelt 101
Page 115 and 116: 6.3 Ladet partikel i magnetfelt 103
Page 117 and 118: 6.4 Relativistisk raket 105 y S Fig
Page 119 and 120: Kapitel 7 Elektriske og magnetiske
Page 121 and 122: 7.1 Transformationsformlerne 109 Fr
Page 123 and 124: 7.3 Den kørende stang 111 7.2.3 Sp
Page 125 and 126: 7.4 Ladet partikel med konstant has
Page 127 and 128: 7.4 Ladet partikel med konstant has
Page 129 and 130: Kapitel 8 Invarians af Maxwells lig
Page 131 and 132: 8.1 Maxwells ligninger i vakuum 119
Page 133 and 134: 8.2 Ladningstæthed og strømtæthe
Page 135 and 136: 8.3 Maxwells ligninger med kilder 1
Page 137 and 138: Kapitel 9 Firevektorer Vi vil i det
Page 139 and 140: 9.1 Definition af firevektor 127 Tr
Page 141 and 142: 9.3 Skalarprodukt 129 kan den invar
Page 143 and 144: 9.3 Skalarprodukt 131 Dvs. der gæl
Page 145 and 146: 9.4 Firehastighed 133 9.4 Firehasti
Page 147 and 148: 9.6 Fireimpuls 135 er nulvektoren.
Page 149 and 150: 9.6 Fireimpuls 137 Ved at udnytte l
Page 151 and 152: 9.7 Firekraft 139 Denne ligning kva
Page 153: 9.9 Lorentztransformationen tager e
Page 157 and 158: 9.9 Lorentztransformationen tager e
Page 159 and 160: 9.10 Harmonisk bølge 147 Ligninger
Page 161 and 162: 9.11 Den elektromagnetiske felttens
Page 163 and 164: Indeks T 1 , 92 2 s, 74 F µν , 14
Page 165 and 166: INDEKS 153 Partikelhenfald, 76, 138
Page 167 and 168: Epilog I disse noter er der ingen o
show all

nr. 475 - 2010 - Institut for Natur, Systemer og Modeller (NSM)

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?