nr. 475 - 2010 - Institut for Natur, Systemer og Modeller (NSM)

82 Relativistisk dynamik: Partikelsystemer
hvoraf fås
n
i=1
mi =
N
i=1
Mi
(5.54)
Vi har altså vist, at impulsbevarelse i alle inertialsystemer i kombination
med Galileitransformationen medfører, at den samlede masse er en bevaret
størrelse.
Vi bytter nu lidt rundt på forudsætninger og konklusion. Antag at der gælder
massebevarelse, Galileitransformation, og at impulsen er bevaret i et bestemt
inertialsystem S ′
n
mi u ′ i =
N
(5.55)
i=1
i=1
Mi w ′ i
Impulsen i inertialsystemet S er da før, pf, henholdsvis efter vekselvirkningen,
pe
pf =
pe =
n
i=1
N
i=1
mi ( u ′ i
Mi ( w ′ i
+ v) =
+ v) =
n
mi u ′ i + n
mi v (5.56)
i=1
i=1
i=1
N
Mi w ′ i + N
Mi v (5.57)
Med anvendelse af impulsbevarelse i S ′ samt af massebevarelse følger af
ligningerne (5.56) og (5.57), at pf = pe, altså, at der er også er impulsbevarelse
i alle andre inertialsystemer.
5.6.2 Massebevarelse og kinetisk energi
For et elastisk stød gælder pr. definition, at den kinetiske energi før og efter
stødet er ens. I inertialsystemet S er denne betingelse
1
2
n
i=1
mi ui 2 = 1
2
N
i=1
i=1
Mi wi 2
Ved at anvende Galileitransformationen omskrives dette til
1
2
n
i=1
mi u ′ i
2
+ 1
2
n
i=1
2
mi v +v·
n
i=1
mi u ′ i
= 1
2
N
i=1
Mi w ′ i
2
+ 1
2
N
i=1
(5.58)
2
Mi v +v·
(5.59)
Hvis stødet også kan betragtes som værende elastisk i inertialsystemet S ′ ,
kan vi af ligning (5.59) slutte, at der gælder massebevarelse, og at impulsen
er bevaret i systemet S ′ .
N
i=1
Mi w ′ i