KLAUSUR Spezielle und Allgemeine Relativitätstheorie SS 10

K L A U S U R
Spezielle
und
Allgemeine Relativitätstheorie
SS 10
Zeit: 120 min

Hinweise
• Lesen Sie alle Aufgaben sorgfälltig durch,
• wählen Sie aus jedem Themengebiet eine Aufgabe aus und löse Sie diese.
• Achten Sie darauf, dass Sie alle Lösungswege ausreichend kommentieren.
• Viel Erfolg!
Astronomische Daten
Gravitationskonstante G D 6; 673 10
11 m3
ks 2
1. Erde
Masse m ♁ D 5; 977 10 24 kg
mittlerer Radius r ♁ D 6368 km
mittlerer Bahnradius Nr D 1; 496 10 8 km
2. Sonne
Masse mˇ D 1; 98 10 30 kg
Radius rˇ D 6; 96 km
3. Himmelskörper des Sonnessystems
(relative Angaben bezogen auf die Erde)
Körper Bahnradius Umlaufzeit Masse Radius g in m
s 2
Sonne ˇ 109 275
Merkur 0,387 0,241 0,055 0,383 3,70
Venus ♀ 0,723 0,615 0,815 0,950 8,87
Erde ♁ 1 1 1 1 9,81
Mars ♂ 1,52 1,88 0,107 0,533 3,73
Jupiter 5,20 11,86 318 11,2 24,9
Saturn 9,54 29,5 95,2 9,41 11,1
Uranus 19,2 84,0 14,6 4,1 9,0
Neptun 30,1 164,8 17,2 3,8 11,4
Pluto 39,8 247,7 3 10 3 0,18 0,6
Erdmond 60,3 r ♁ 7; 42 10 2 1; 23 10 2 0,273 1,63

1. Lorentz-Tranformation
Themengebiet I: Spezielle Relativitätstheorie
Durch Kernumwandlung werden in einem Versuch 6 He-Kerne erzeugt, diese werden beschleunigt, und
treten dann in Form eines gepulsten Strahls aus einer Blende. Nach der Blende fliegen sie mit der Geschwindigkeit
v D 0; 6 c geradlinig weiter. Die Bewegung der Kerne wird im Laborsystem S.x; t/ sowie in
einem mit dem ersten Puls mitbewegten System S 0 .x 0 ; t 0 / beschrieben. Die Ortsachsen der beiden Systeme
sind gleich gerichtet und fallen zusammen.
Der erste Puls durchläuft die Blende .x D x 0 D 0/ zum Zeitpunkt t D t 0 D 0.
a) Zeichnen Sie ein Minkowski-Diagramm für das S-System mit der Weltlinie des ersten He-Kern-
Pulses. Führen Sie das Diagramm in den folgenden Teilaufgaben fort.
[Für die Zeichnung: DIN A4 Querformat; t-Achse: 2 cm 1; 0 10 8 s; x-Achse: 2 cm 3 m]
(2 Punkte)
b) Die Halbwertszeit des 6 He beträgt T D 805 ms. Berechnen Sie, in welcher Entfernung von der Blende
(S-System) noch 99,9 % der ausgesandten Teilchen unzerfallen ankommen. (2 Punkte)
Die Teilchenpulse werden im zeitlichen Abstand t D 1; 0 10 8 s ausgesandt.
c) Tragen Sie die Weltlinien der nächsten beiden Teilchenpulse in das Minkowski-Diagramm aus Teilaufgabe
1 a ein. Berechnen Sie sodann, welcher zeitliche Abstand t 0 dem Austreten der einzelnen Pulse
aus der Blende von einem Beobachter im S 0 -System zugeordnet wird. Begründen Sie Ihren Ansatz.
(3 Punkte)
d) Zeichnen Sie eine Zeitachse .t 0 D 0/ und die Ortsachse .x 0 D 0/ des S 0 -Systems in das Minkowski-
Diagramm ein, und eichen Sie die beiden Achsen. Erläutern Sie kurz Ihr Vorgehen. (2 Punkte)
e) Erläutern Sie, wie im Minkowski-Diagramm der in Teilaufgabe 1 a zu bestimmende zeitliche Abstand
t 0 bestimmt werden könnte, und tragen Sie diese Linie ein. (2 Punkte)
Ein 6 He-Kern des ersten Pulses zerfällt zum Zeitpunkt t 0 D 3; 0 10 8 s unter ˇ -Emission, wobei das
ausgesandte Elektron mit der Geschwindigkeit u 0 vom Betrag c
3 relativ zum 6 He-Kern entgegen dessen
Flugrichtung ausgesandt wird.
f) Zeichnen Sie ohne Benutzung der Formel zur Geschwindigkeitsaddition die Weltlinie dieses bewegten
Elektrons in das Minkowski-Diagramm ein. Berechnen Sie sodann die Geschwindigkeit u
des Elektrons relativ zum Laborsystem S und bestimmen Sie zeichnerisch, wo und wann im S-
System die Kollision dieses ˇ -Teilchens mit dem nachfolgenden Puls stattfindet.
1
(3 Punkte)

Durch den Beschuß eines Targets mit den 6 He-Kernen entstehen Nuklide, die einem ˇ C -Zerfall unterliegen.
Sie emittieren Positronen, die im S-System die Gesamtenergie W D 5; 2 MeV haben.
Ein Elektron der S-Geschwindigkeit u D c
3
(in positiver x-Richtung) kollidiert mit einem solchen Po-
sitron, das sich in negativer x-Richtung bewegt. Die beiden Stoßpartner zerstrahlen in zwei verschiedene
-Quanten. Das eine -Quant fliege in positiver, das andere in negativer x-Richtung.
g) Berechnen Sie für jedes -Quant die Energie im S-System. Begründen Sie sodann, dass bei dieser
Umwandlung mindestens zwei -Quanten entstehen müssen. (6 Punkte)
2
(20 Punkte)

2. Relativistische Kinematik
Ein Teilchen mit Ruhemasse m0 und Eigenzeit bewege sich mit einer Geschwindigkeit jEuj < c relativ
gegen das Inertialsystem S.t; Ex/. Mit dem Teilchen sei das System S 0 . ; Ex 0 / fest verbunden. Die Achsen der
beiden Systeme seien gleich orientert. Die verallgemeinerte Newtonsche Bewegungsgleichung ist
F D dp
d
mit p D .E=c; Ep/ und E als der relativistischen Energie des Teilchens.
a) Zeigen Sie durch Rechnung, dass die 0-Komponente der Kraft durch F 0 D c
;
dE
dt
gegeben ist.
Für Teilchen, die zusäztlich eine Ladung q tragen, lautet die kovariante Form der Lorentz-Kraft
F D q
c
@ .u A /
dA
d
mit A D .V; EA/
(1 Punkt)
als dem Viererpotential, V.Ex; t/ dem elektrischen Potential, der Vierergeschwindigkeit u D dx
d ,
j P 3
iD1 ui j D const:, und @ D @
@x
D . @
@.ct/ ; Er/.
b) Berechnen Sie zunächst das Skalarprodukt u A . Bestätigen Sie sodann, dass sich die 0-Komponente
der Lorentz-Kraft F darstellen läßt als
dE
dt D qEu E;
verwenden Sie an geeigneter Stelle die Maxwell-Gleichung: ED 1 @ EA
c @t
grad V .
ŒTeilergebnis: u A D .cV Eu EA/ (4 Punkte)
Das Teilchen wird auf die Geschwindigkeit u0 beschleunigt. Nach Durchlaufen einer bestimmten Strecke
s zerfällt es in zwei Teilchen mit den Massen m1 und m2.
c) Berechnen Sie die kinetische Energie, die das Teilchen mindestens haben muss, damit seine
Geschwindigkeit größer als 80% der Lichtgeschwindigkeit ist.
Betrachten Sie nun den Zerfall des Teilchens in seinem Ruhesystem.
(2 Punkte)
d) Geben Sie die Erhaltungsgrößen für den Teilchenzerfall an. Berechnen Sie sodann die relativistischen
der beiden Teilchen im Ruhesystem des zerfallenden Teilchens.
Energien E 0 1 und E0 2
Teilergebnis: .p 0 1 /2 c 2 D c 4 m 2 0 Cm2 1 m2 2
2m0
2
m 2 1
(8 Punkte)
Betrachten Sie nun den Zerfall des Teilchens im ruhenden Laborsystem. Die Komponenten der Impulse
im Laborsystem Ep1 und Ep2 können jeweils zerlegt werden in einen Anteil parallel (k) und senkrecht (?)
bezüglich des Teilchenimpulses Ep0.
3

e) Erläutern Sie, dass für die Energie und Impulskomponten der Zerfallsteilchen im Laborsystem
Ei D E 0
i C ˇ Ep0 ikc und Epi;k D Ep 0 ˇ
ik C
c E0
i ; i D 1; 2 ;
gilt. (2 Punkte)
Abschließend wird der Spezialfall untersucht, dass eines der beiden Zerfallsteilchen im Laborsystem stehen
bleibt. Der Impuls Epm den das zerfallende Teilchen dazu haben muss, wird als magischer Impuls bezeichnet.
f) Berechnen Sie den magischen Impuls Epm des zerfallenden Teilchens, wenn das Teilchen 1 im Laborsystem
stehen bleiben soll. Verwenden Sie dazu Ihre bisherigen Ergebnisse.
4
(3 Punkte)
(20 Punkte)

3. Wurmloch, Morris-Thorne Metrik
Themengebiet II: Allgemeine Relativitätstheorie
In der 1986 erschienenen Novelle Contact des US-amerikanischen Astrophysikers C. E. Sagan werden
Menschen durch eine Reihe von Wurmlöchern transportiert. Als akademisches Beispiel eines durchfahrbaren
Wurmlochs werde die von Morris und Thorne 1988 im Am. J. Phys. (56):395–412, veröffentlichte
Metrik
8
1 < t < 1 ;
(3.1) ds 2 D c 2 dt 2 C dl 2 C .b 2
0 C l2 /.d 2 C sin 2 d 2 / ;
ˆ<
1 < l < 1 ;
0 ;
ˆ:
0 2 ;
mit den Koordinaten x 0 D ct, x 1 D l, x 2 D und x 3 D und der Konstanten b0 betrachtet.
a) Diskutieren Sie ohne Rechnung die physikalischen und geometrischen Eigenschaften der Morris-
Thorne Metrik (3.1) bzgl. (4 Punkte)
˛) der Koordinaten t, l, und ,
ˇ) der Raum-Zeit selbst, d.h. geben Sie die Symmetrien der Raum-Zeit an, diskutieren Sie evtl.
vorhandene asymmptotisch flache Bereiche und die Existenz oder Nichtexistenz eines Ereignishorizonts.
b) Berechnen Sie die nicht-verschwindenen Koeffizienten des Christoffel-Symbols der Morris-Thorne
Metrik. (4 Punkte)
Teilergebnis:
1
1
22 D l ; 33 D l sin 2
Im Sitzungsbericht der Preußischen Akademie der Wissenschaften vom 25. November 1915 gibt Einstein
folgende Feldgleichung der Gravitation an,
(3.2) R
1
8 G
g R D T ; D
2 c4 mit R als dem Ricci-Tensor, R dem Krümmungskalar, G als der Newtonschen Gravitationskonstanten
und T als dem Energie-Impuls-Tensor. Für die Morris-Thorne Metrik findet man
R11 D 2
b2 0
.b2 0 C l2 / 2
und R D 2
;
b2 0
.b2 0 C l2 :
/ 2
c) Geben Sie die nicht-verschwindenden Komponenten des Energie-Impuls-Tensors an. Ist es möglich
im Labor einen Energie-Impuls-Tensor äquivalent zu dem der Morris-Thorne Metrik zu erzeugen?
Diskutieren Sie dazu speziell die T00-Komponente des Energie-Impuls Tensors. (4 Punkte)
5

Die linke Seite der Einstein Gleichung (3.2) kann erweitert werden durch hinzufügen eines Terms g ,
ohne das dadurch die allgemeine Kovarianz der Feldgleichung zerstört wird.
d) Erklären Sie kurz die Bedeutung der universellen Konstante und begründen Sie, ohne Rechung,
weshalb diese Konstante sehr klein sein muss. (2 Punkte)
Zum Abschluss der Diskussion der Morris-Thorne
Metrik soll die Einbettung der Äquatorialebene,
D 2 , für den fixen Zeitpunkt t in den zylindersymmetrischen
Raum .r; ; z/, beschrieben durch
das Linienelement
(3.3) ds 2 D dz 2 C dr 2 C r 2 d 2 :
betrachtet werden, wie es die nebenstehende Skizze
zeigt.
h
e) Zeigen Sie, dass z.r/ D ˙b0 ln .r=b0/ C p .r=b0/ 2 i
1 mit l D ˙ p r2 b2 0 gilt, verwenden Sie
an geeigneter Stelle (3 Punkte)
Z
dx
p x 2 a 2 D ln x C p x 2 a 2 ; a ¤ 0 :
Betrachten Sie abschließend die kovariante Ableitung D V D @ V V eines kovarianten Vektors V .
Allgemein gilt für die Anwendung der kovarianten Ableitung auf ein Tensorfeld B : D B D @ B
B B .
f) Bestätigen Sie durch Rechnung, dass D D V D D V D R V , mit dem Riemann Tensor
R D @ @ C , gilt. (3 Punkte)
6
(20 Punkte)

4. Schwarzschild-Metrik
In seinem Aufsatz „Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie“, veröffentlicht
im Sitzungsbericht d. k. Preuss. Akad. Wissen. vom 3. Februar 1916, Seiten 189-196, schreibt
K. Schwarzschild: „: : : so ergibt sich das Linienelement, welches die strenge Lösung des Einsteinschen
Problems bildet:“
(4.1)
ds 2 D A.R/ c 2 dt 2 dR2 A.R/ R2 d 2 C sin 2 d 2
A.R/ D 1
˛
R ; R D r3 1
3 3 C ˛ ;
mit der Konstanten ˛, welche von der Größe der im Nullpunkt befindlichen Masse abhängt.
a) Erklären Sie zunächst in Ihren eigenen Worten, was man in der Allgemeinen Relativitätstheorie unter
dem Kovarianzprinzip versteht. (2 Punkte)
Betrachten Sie die Bewegung eines Massenpunktes in der Äquatorialebene, D 2 , der durch (4.1) beschriebenen
Raumzeit.
b) Bestätigen Sie durch Rechnung, dass die Bewegungsgleichungen durch
A.R/ c 2 Pt 2
R 2 P D const: D h ;
1
A.R/ PR 2 R 2 P 2 D const: D c 2 ; A.R/Pt D const: D k ;
mit Px D dx
d als der Ableitung nach der Eigenzeit , gegeben sind. (4 Punkte)
c) Zeigen Sie, dass für die Bewegung in der Äquatorialebene
dx
d
2
D c2 .k 2 1/
h 2
C c2 ˛
h 2 x x2 C ˛x 3
mit x D 1
gilt. (2 Punkte)
R
ŒZwischenergebnis: . dR
d /2 C R 2 A.R/ D c2 R 4
h 2 fk 2 A.R/g
Nimmt man die Sonne, als ruhendes Zentralgestirn an, so gelten für die Bewegungen der Planeten um die
Sonne die drei Keplerschen Gesetze. Das 3. Keplersche Gesetz besagt, dass die Quadrate der Umlaufzeiten
.T1; T2/ zweier Planeten verhalten sich wie die dritten Potenzen der großen Halbachsen .a1; a2/ ihrer
Bahnellipsen. Insbesondere folgt daraus, T 2 =a 3 D const. Die Winkelgeschwindigkeit eines Planeten auf
einer kreisförmigen Umlaufbahn ist ! D d
dt .
d) Leiten Sie vermittelst der Bewegungsgleichungen aus Teilaufgabe 4 b das 3. Keplersche Gesetz für
eine kreisförmigen Planetenorbit, k D 1, in der durch (4.1) beschriebenen Raumzeit ab.
Schwarzschild schreibt: „Bis zur Sonnenoberfläche hin ist die Abweichung dieser Formel vom dritten
Keplerschen Gesetz völlig unmerklich.“ Überprüfen Sie diese Aussage, verwenden Sie ˛ D 2MG
c 2 ,
und berechnen Sie die beiden Kepler-Konstanten aus dem Umlauf des Merkur um die Sonne.
ŒErgebnis:
T 2
r3C˛ 3 8 2
D ˛c2 D const: (5 Punkte)
7
;

Eine am Ort RA im Gravitationsfeld (4.1), ˛ D 2GM
c 2 , ruhende Quelle sendet eine monochromatische
elektromagnetische Welle der Frequenz A aus. Am Ort RB ruht ein Beobachter, welcher die Frequenz der
Welle mit B beobachtet. Aufgrund des Gravitationsfeldes gilt
(4.2)
Untersuchen Sie nun abschließend folgende Situationen:
B
A
D
s
g00.RA/
g00.RB/ :
e) In einem frei fallenden Satellitenlabor wird die Wellenlänge eines Helium-Neon Lasers mit 632,8 nm
gemessen. Welche Wellenlänge würde der Experimentator messen, wenn
˛) er und der Laser frei in Richtung eines Neutronensterns fallen? (1 Punkt)
ˇ) er frei im Satellitenlabor fällt und der Laser von der Oberfläche eines Neutronensterns, m D
10 30 kg, R D 10 4 m, in radialer Richtung auf ihn strahlt. Das Labor befinde sich sehr nahe am
Stern, d.h. 1=RLab D 0. (2.5 Punkte)
) beide auf der Oberfläche des Neutronensterns stehen. (1 Punkt)
ı) er auf dem Neutronenstern steht und der Laser sich im frei fallenden Satellitenlabor befindet. Das
Labor befinde sich wieder sehr nahe am Stern. (2.5 Punkte)
˛/ ˇ/ / ı/
8
(20 Punkte)

Lösungsvorschlag
Aufgabe 1
a) Minkowski-Diagramm:
xŒm
xK
18
15
12
9
6
3
3
6
1,25
9
12
Gleichzeitigkeitslinie in S’
3
4
1 2 3 4 5 6 7 8 9
t0
b) Radioaktives Zerfallsgesetz:
N.t/ D N0e
Lorentz-Transformation von S 0 nach S,
t 0 1
xŒm
t1 t2 tK
t 0
) t 0 D 1 ln N0
N.t/
t
t0 D ) t D t0 D T N0
ln
ln 2 N.t/
Einsetzen der Zahlenwerte, N.t/ D 0; 999N0, T D 805 ms, D 5
4 ,
t D 5 805 10
4
3
ln
ln 2
1
0; 999
Für den zurückgelegten Weg in S gilt x D v t und damit
5
6
T N0
D ln
ln 2 N.t/
1
q
1
v 2
c 2
) t D 1; 45 ms :
x D 0; 6 3 10 8 1; 45 10 3 m ) x D 261 km :
1
:
t 0 Œ10 8 s
:
1. Puls
2. Puls
3. Puls
tŒ10 8 s

c) S und S 0 sind gleichberechtigte Inertialsysteme. S 0 bewegt sich relativ zu S mit der Geschwindigkeit v. Die
Pulse, welche aus der Blende austreten, stellen in S ortsfeste Ereignisse dar, die an vielen in S 0 ortsfesten
Uhren vorbeifliegen. Lorentz-Transformation:
t 0 D t ) t 0 D 5
4 1 10 8 s ) t 0 D 1; 25 10 8 s :
d) Die Weltlinie des 1. Pulses aus Teilaufgabe a ist die t 0 -Achse. Die Eichung der t 0 -Achse kann z.B. über
ein Lichtsignal und dem k-Kalkül erfolgen: Lichtsignal zum Zeitpunkt t0 in Richtung S 0 , trifft das Teilchen
zum Zeitpunkt t 0 1 D kt0 wird dort reflektiert und erreicht S zum Zeitpunkt t2 D kt 0 1 , d.h. t2 D k 2 t0. Es gilt
x0 D c
2 .t2 t0/
x0 D v
2 .t2 C t1/
) v
c D t2 t0
t2 C t0
D k2 1
k 2 C 1
) k D
s
1 C ˇ
1 ˇ ;
damit kann die t 0 -Achse über Lichtsignale geeicht werden. Die x 0 -Achse ergibt sich durch Spiegelung der
t 0 -Achse an der Lichtlinie.
e) Parallelen zur x 0 -Achse sind Gleichzeitigkeitslinien in S 0 , d.h. eine Gleichzeitigkeitslinie durch den Punkt
(1; 0 10 8 s; 0 m) im S-System ergibt im S 0 -System die gesuchte Zeit t 0 .
f) Mit der angegebenen Geschwindigkeit im System S 0 folgt, dass das Elektron in der Zeit t D 3 10 8 s,
den Weg
x 0 3 108
D 3 10
3
8 m D 3 m
zurücklegt, damit kann die Weltlinie konstruiert werden. Aus der Lorentz-Transformation vom S0-System in das S-System folgt
c dt D .c dt 0 C ˇdx 0 /
dx 0 D .dx 0 C ˇc dt 0 /
) u D
1
3
1
3
15
) u D v C u0
1 C u0 v
c 2
3
C 5
c D 4 15
c
c ) u D C
15 12 3 :
Dem Minkowski-Diagramm entnimmt man für die Kollision tK D 6; 0 10 8 sI xK D 9 m .
g) Für den Prozess gilt Viererimpulserhaltung: pC C p D p 1 C p 2. Daraus folgt (i) Energieerhaltung:
E CEC D E 1CE 2 und (ii) Impulserhaltung: Ep C EpC D Ep 1C Ep 2. Für die relativitische Gesamtenergie
des Elektrons gilt E D m.u/c 2 D m0c 2 , mit m0 als der Ruhemasse des Elektrons und m.u/ D m0 als
der relativistischen Masse des Elektrons. Die Energieerhaltung lautet damit insgesamt
( ) m0c 2 C EC D E 1 C E 2 , E 2 D m0c 2 C EC E 1 :
Beachtet man die Richtung der Impulse, so folgt für die Beträge der Impulse
( ) p pC D p 1 p 2 D E 1
c
2
E 2
c ) p c pCc D E 1 E 2 :

Addition der Gleichung ( ) mit ( ) ergibt
mit
Aufgabe 2
2E 1 D E C EC C p c pCc ) E 1 D 1
2 .E C EC C p c pCc/ ;
E C p c D m.u/c 2 C m0uc D m0c 2 C m0uc D .1 C ˇ/m0c 2 ;
und der relativistischen Energie-Impuls-Beziehung E 2 D E 2 0 C p2 c 2 folgt schließlich
( ) E 1 D 1
2
.1 C ˇ/m0c 2 C EC
q
E 2 C E2 0 :
Mit u D c
1
ist ˇ D 3 3 und D 3 p . Einsetzen der Zahlenwerte in Gleichung ( ) ergibt
8
E 1 D MeV
2
und aus ( ) erhält man
3 4
p
8 3 0; 511 C 5; 2 p .5; 2/ 2 .0; 511/ 2 ) E 1 D 0; 374 MeV ;
E 2 D 3 p 8 0; 511 C 5; 2 0; 374 MeV ) E 2 D 5; 368 MeV :
a) Aus der Invarianz des Linienelements folgt
c 2 d 2 D c 2 dt 2
d Ex 2 D c 2 dt 2
"
1
d Ex
cdt
2 #
D c2 dt 2
2 ) d D dt ;
damit ist F D .dp =dt/ und schließlich mit p D .E=c; Ep/ folgt für die 0-Komponente
F 0 D c
b) Mit dem Ergebnis aus Teilaufgabe a, d D dt, und x D .ct; Ex/, folgt
Damit ist
u D d
d
u A D .c; Eu/
x .t. // D dx
dt
!
V
EA
dt
d
dE
dt
D dx
dt
Die 0-Komponente von @ ist gerade die Ableitung @=@.ct/, somit
F 0 D q
c @0 u A
dA 0
d
Š
D q @
c c @t
) u D .c; Eu/ :
) u A D .cV Eu EA/ :
cV Eu EA
3
dV
dt
D q
c
"
@V
@t
Eu @ EA
@t
dV
dt
#
:

Da gilt V D V.Ex; t/ lautet das Differential
dV D @V
@t
eingesetzt in F 0 ergibt
F 0 D q
"
c ✓ ✓✓
@V
@t
Mit F 0 D q dE
c dt
dt C @V
@Ex
Eu @ E A
@t ✓ ✓✓
@V
@t
folgt schließlich
q dE
c dt
d Ex dV
dt
Eu. ErV /
#
D @V
@t
@V d Ex
C
@Ex dt
D q
c Eu
"
Eu @ E #
A
Eu. ErV /
@t
„ ƒ‚ …
D q
c Eu E) dE
dt D qEu E:
D E
)
D @V
@t C Eu. ErV / ;
F 0 D q
c Eu E
c) Ist E D mc 2 die relativistische Energie und E0 D m0c 2 die Ruheenergie des Teilchens, dann ist seine
kinetische Energie Ekin D E E0. Mit m D m0 besteht zwischen der relativistischen Energie und der
Ruheenergie der Zusammenhang E D E0, damit ist Ekin D . 1/E0. Die Geschwindigkeit soll 80% der
. Die kinetische Energie ist damit
Lichtgeschwindigkeit betragen, d.h. ˇ D 0; 8 und somit D 5
3
Ekin D 5
3
1 E0 ) Ekin
2
3 m0c 2 :
d) Erhaltungsgrößen (Lehrbuch): Viererimpulserhaltung (Energie- und Impulserhaltung) Im Ruhesystem des
zerfallenden Teilchens folgt aus der Energieerhaltung E0 D E 0 1 C E0 2 und aus der Impulserhaltung Ep0 1 D
Ep 0 2 , bzw. j Ep0 1 j D j Ep0 2 j. Mit der relativistischen Energie-Impuls-Beziehung E D p E 2 0 C Ep2 c 2 erhält man
aus der Energieerhaltung für den Impuls Ep1,
E0 E 0
2 D E0
1
) .m2 0 C m2 1
2m0c2 (
) . Ep 0
1 /2 c 2 D c 4
) m2
0 c4 C m 2
m2 2 /c4
D
m 2 0 C m2 1
1c4 C✘✘✘✘ . Ep 0
1 /2c 2
2m0c 2
q
m2 2c4 C . Ep 0 1 /2c2 D m 2
1c4 C✘✘✘✘ . Ep 0
1 /2c 2
q
m 2 1 c4 C . Ep 0 1 /2 c 2 ) m 2
1 c4 C . Ep 0
1 /2 c 2 D c 4 m2 0 C m2 1 m2 2
2m0
m2 2
Einsetzen in die relativistische Energie-Impuls-Beziehung ergibt für das Teilchen 1,
2
m 2
1
.E 0
1 /2 D m 2
1 c4 C c 4 m2 0 C m2 1 m2 2
2m0
) E 0
1 D m2 0 C m2 1
2m0
m2 2
c 2 ;
und aus der Energieerhaltung folgt für das Teilchen 2,
E 0
2 D E0 E 0
1 D m0c 2 m2 0 C m2 1 m2 2
2m0
4
)
2
m 2
1 c4 D c 4 m2 0 C m2 1 m2 2
2m 2 0
c 2 ) E 0
2 D m2 0 C m2 2
2m0
2m0
m2 1
2
c 2 :
2

e) Im Laborsystem gilt ebenfalls die Viererimpulserhaltung. Aus der Impulserhaltung folgt
Ep0 D Ep1 C Ep2 D Ep1k C Ep2k C Ep1? C Ep2?
„ ƒ‚ …
D 0
) Ep0 D Ep1k C Ep2k ; Ep1? D Ep2? :
Die Lorentz-Transformation vom Ruhesytem in das Laborsystem erfolgt parallel zum Impulsvektor Ep0, für
die Rücktransformation des Impulsvektors p D .E=c; Ep/ gilt
Ep D N p 0 )
!
Ei=c
D
Epik
1
ˇ
!
ˇ E
1
0 i =c
Ep 0
!
;
ik
daraus liest man für die beiden Komponenten der beiden Teilchen
ab.
Ei D E 0
i C ˇ Epikc ; Epik D ˇE 0
i C Ep0 ikc f) Das Teilchen 1 soll im Laborsystem stehen bleiben, d.h. Ep1 D E0 D Ep1k C Ep1?. Mit dem Ergebnis aus
Aufgabe 3
. Da Ep? D 0 ist, muss die zur Transformation senkrechte Komponente
Teilaufgabe e folgt damit ˇ D Ep0 1kc E 0 1
von Ep 0 1 verschwinden, somit ist Ep0 1 D Ep1k. Mit E D mc2 und Ep D mEv erhält man ˇ D jEvj
c
und weiter mit der relativistischen Energie-Impuls-Beziehung E D p m2 0c4 C Ep 2c2 ,
und damit
Ep 2
ˇ D
m D m2 0 c2 ˇ 2
j Epmjc
p
2 m0c4 C Ep 2 ) m2
0
mc2 c2 C Ep 2
m D Ep2 m
ˇ
D
1 ˇ2 m2 . Ep0 1
0c2 /2c2 .E 0
1 /2
1
. Ep 0 1 /2 c 2
.E 0 1 /2
Der Impuls . Ep 0 1 /2 wurde im Aufgabenteil d bereits berechnet.
2 ) Ep2
m D m2 0 c2 ˇ 2
;
1 ˇ2 D m2 0c4 . Ep 0 1 /2
.E0 1 /2 . Ep 0 1 /2 ) Ep2
c2 m D m2 0
m2 1
. Ep 0
1 /2 :
D jEvjmc
mc 2 D
a) ˛) Die Koordinate t ist die Eigenzeit eines ruhenden Beobachters; und sind sphärische Polarkoordinaten;
l ist die radiale Koordinate, welche die Eigenlänge zur einer bestimmten Koordinatenzeit t angibt.
ˇ) Es handelt sich um eine statische, kugelsymmetrische Raum-Zeit, die zwei asymmptotisch flache Bereiche
für l ! ˙1 besitzt. Die Morris-Thorne Metrik weißt keinen Ereignishorizont auf.
b) Die nicht-verschwindenden Christoffel-Symbole werden über die Euler-Lagrange-Gleichungen bestimmt.
Aus der Metrik folgt die Lagrange-Funktion
(4.3) ˇ D 1
h
2
c 2 Pt 2 C P l 2 C .b 2
0 C l2 / P2 C sin 2 P 2
5
i
j Epjc
E ,

Als affinen Parameter wähle man , d.h. Px D dx
d , damit lauten die Euler-Lagrange-Gleichungen allge-
mein
d
d
dˇ
d Px
dˇ
dx
D 0 :
t-Koordinate: Die Lagrange-Funktion ist nicht explizit von t abhängig,
l-Koordiante:
-Koordinate:
0 D d
d
) 0 D R C
d
d
h
.b 2
0 C l2 / Pi
c 2 Pt D 0 ) c 2 Pt D const: ) 0
0 D d
d Pt l P2 C sin 2 P 2 D Rt l P P l sin 2 P P
) 1
22 D l ;
1
33 D l sin2
:
.b 2
0 C l2 / sin cos P 2 D 2l P l P C .b 2
0 C l2 / R .b 2
0 C l2 / sin cos P 2
2l
.b2 0 C l2 / P l P sin cos P P ) 2 2
12 D 21 D
0 :
l
.b 2 0 C l2 / ;
-Koordinate: Die Lagrange-Funktion ist nicht explizit von abhängig,
0 D d
d
.b 2
0 C l2 / sin 2 P ) .b 2
0 C l2 / sin 2 P D const:
) 0 D 2l P l sin 2 P C .b 2
0 C l2 /2 sin cos P P C .b 2
0 C l2 / sin 2 R
D R C
) 3 3
13 D 31 D
2l
.b 2 0 C l2 / P l P C 2 cot P P
l
.b 2 0 C l2 / ;
c) Dem Linienelement der Morris-Thorne Metrik entnimmt man
3 3
23 D 32 D cot
g00 D c 2 ; g11 D 1 ; g22 D .b 2
0 C l2 / und g33 D .b 2
0 C l2 / sin 2
Damit folgt für die Komponenten des Energie-Impuls-Tensors
T00 D
T11 D
T22 D
c2b2 0
.b2 0 C l2 / 2 ) T00 D c 2 b2 0
.b2 0 C l2 b
;
/ 2 2 0
.b2 0 C l2 ;
/ 2
b 2 0
.b 2 0 C l2 / D
T33
sin 2
2
33 D sin cos
Die T00-Komponente ist die Energiedichte des Feldes (Lehrbuch), zur Erzeugung eines Morris-Thorne
Energie-Impuls-Tensors müßte die Energiedichte negativ sein, dies ist im Labor unmöglich.
6
:
:

d) Die universelle Konstante wird als kosmologische Konstante bezeichnet. Im nicht-relativtischen Grenzfall
geht die Einsteinsche Feldgleichung (3.2) in die Newtonschen Feldgleichungen über. Mit dem Zusatz
der kosmologischen Konstaten ergibt sich ein Zusatzterm. Dieser steht im Widerspruch zur empirischen
Verifikation der Newtonschen Feldgleichungen im Sonnensystem und muss deshalb sehr klein sein.
e) Aus der Invarianz des Linienlements ds 2 folgt mit dt D d 2 D 0 und D 2 ,
(4.4) ds 2 D dz 2 C dr 2 C r 2 d 2 D
Aus dieser Gleichung liest man sofort
(4.5) r 2
und
(4.6) dl 2 D
b 2
0 C l2 ) l 2 D r 2
"
dz
dr
2
"
C 1
ab. Gleichung (4.5) eingesetzt in (4.6) ergibt
r2 "
D
dz
dr
#
2
C 1
r 2 b 2 0
) dz
dr D ˙b2 0
p r 2 b 2 0
) dz
dr
dz
dr
b 2
0
Integration durch Trennung der Variablen ergibt
f) Mit B D D V folgt
z.x/ D ˙b0
Z
#
2
C 1
#
dr 2 C r 2 d 2
) l D ˙
q
r2 b2 0
dr 2 ) dl
dr
) dz
dr
2
2
D
"
D r2
r 2 b 2 0
˙1 r
D p ; x D
x2 1 b0
dx
p
x2 1 ) z.r/ D ˙b0
0
ln @ r
D .D V / D @ .D V / .D V / .D V /
b0
:
dl 2 C .b 2
0 C l2 /d 2 :
) dl
dr D
dz
dr
C
2
C 1
˙r
p r 2 b 2 0
#
1 D r 2 r 2 C b 2 0
r 2 b 2 0
s
r
b0
2
1
1A
D @ .@ V V / .@ V V / .@ V V / :
Für D .D V /, vertauschen von und und ausnutzen der Symmetrieeigenschaft D ergibt
D .D V / D .D V / D✘✘✘✘ @ @ V @ . V / .@ V V / .@ V V /
✭✭✭✭✭✭✭✭✭✭
✘✘✘✘ @ @ V C @ . V / C .@ V V / C .@ V V /
✭✭✭✭✭✭✭✭✭✭
D .@ /V
✘✘✘✘✘✘ .@ V / ✘✘✘✘✘✘ .@ V / C V
C .@ /V C✘✘✘✘✘✘ .@ V / C✘✘✘✘✘✘ .@ V / V
D .@ @ C /V R V
7

Aufgabe 4
a) Kovarianzprinzip (Lehrbuch): Im Gravitationsfeld gültige Gleichungen müssen folgende Bedingungen erfüllen
• Kovarianz unter allgemeinen Koordinatentransformationen. Gesetze müssen die Form einer Riemann-
Tensorgleichung haben.
• Gültigkeit im Lokalen Inertialsystem: Für g D muss sich das entsprechende Gesetz der Speziellen
Relativitätstheorie ergeben.
b) In der Äquatorialebene lautet das Schwarzschild-Linienelement
ds 2 D c 2 d 2 D A.r/ c 2 dt 2
daraus folgt sofort die erste Bewegungsgleichung,
c 2 D const: D A.R/ c 2 Pt 2
dR 2
A.R/ R2 d 2 ;
1
A.R/ PR 2 R 2 P 2 ;
da die Lichtgeschwindigkeit eine Konstante ist. Daraus liest man die Lagrange-Funktion ˇ.Pt; R; PR; P/ D
1
2 1
.A.R/ c2Pt 2 A.R/ PR 2 R2 P2 / ab. Die Lagrange-Funktion ist nicht explizit von t und ' abhängig, d.h.
d
d
d
d
@ˇ
@Pt
@ˇ
@ P
d
D 0 D
d A.r/c2 Pt 2 ) A.R/Pt D const: D k ;
d
D 0 D
d
R 2 P ) R 2 P D const: D h ;
c) Für die Bewegung in der Äquatorialebene gilt R D R. /, d.h. dR
d
Bewegungsgleichung aus Teilaufgabe b ergibt
c 2 D A.R/c 2
) dR
d
Mit R D 1=x und dR
d
2
k
A.R/
2
D A.R/R4
h 2
dR dx
D dx d
1
x 4
1
A.R/
c 2 k 2
A.R/
1
D x2 dx
d
dx
d
) dx
d
) dx
d
2
dR
d
c 2
C 1
x
2
2
2 h 2
R 4
dR d
D d d
h2
R2
R4 D c2k2 A.R/
h2 dR
)
R2 d
erhält man daraus
2 .1 ˛x/ D c2
x 4 h 2.k2
D x 2 .1 ˛x/ C c2
h 2.k2
D c2 .k 2 1/
h 2
8
D dR
d
h 2
R 4 A.R/
h
R 2, eingesetzt in die erste
dR
d
2
C R 2 A.R/ D c2R4 1 C ˛x/
1 C ˛x/
C c2 ˛
h 2 x x2 C ˛x 3 :
h 2
2
h 2
R 2
k 2 A.R/ :

d) Mit x D 1=R folgt aus der zweiten Bewegungsgleichung A.R/Pt D .1 ˛=R/Pt D .1 ˛x/Pt D 1, und
damit
d
d
d dt
D
dt d
d
D
dt 1
1 h
D
˛x R2 D hx2 ) ! D x 2 h.1 ˛x/ :
Für eine kreisförmigen Orbit gilt dx
d D 0 und d 2 x
d 2 D 0, mit k D 1 und dem Ergebnis aus Teilaufgabe c
folgt,
0 D c2˛ h2 x x2 C ˛x 3 D x c2˛ h2 Ableitung nach und auswerten der Bedingung d 2 x
d 2 D 0 ergibt
Mit ! D 2
T
2 dx
d
d 2x d 2 D c2˛ h2 dx
d
) 0 D c2 ˛
2h 2
) x.1 ˛x/ D 2x 1
erhält man die Umlaufzeit zu
.2 / 2
2x dx
d
x C ˛x 2 ) h 2 D
C 3˛x2 dx
d ) d 2 x
d 2 D c2 ˛
2h 2
˛c 2
x.1 ˛x/ :
x C 3
2 ˛x2
x C 3˛
2 x2 ) c2˛ D 2x
h2 1
3
2 ˛x
3
˛x
2
) 1 ˛x D 2
1
3˛x ) ˛x D
2 :
T 2 D x4 h 2 .1 ˛x/ 2 D x 4 ˛c 2
) 4 2
T
˛c2 ˛c2
D D
2 2R3 2
Kepler-Konstante mit den relativen Daten des Merkur
T 2
r 3
D
Konstante aus der Schwarzschild-Metrik,
8 2 2 8
D
˛ˇc2 2Gmˇ
x.1 ˛x/ .1 ˛x/2 D x 3 ˛c 2 .1 ˛x/ D x3˛c2 2
1
r3 2 T
)
C ˛3 r3 2 8
D
C ˛3 ˛c
.0; 241 365 24 3600 s/2
.0; 387 1; 496 10 11 m/ 3 ) T 2
r 3
D
' 3 10
2 D const:
19 s2
m 3
4 2 s2 6; 673 10 11 1; 98 1030 2 8 19
s2
) ' 3 10
m3 ˛ˇc2 m
e) ˛/ Befindet sich der Beobachter relativ zum Laser in Ruhe, so mißt er die (Eigen-)wellenlänge, welche
auch im frei fallenden Satellitenlabor gemessen wurde, 632,8 nm.
ˇ/ Der Sender befindet sich auf dem Neutronenstern, der Emfänger in der Raumstation, 1=RB D 0, aus
(4.2) folgt mit c D ,
s
A g00.RA/
D ' 1
g00.RB/
2GM
Rc2 1
2
) B D A 1
2GM
Rc2 1
2
einsetzen der Zahlenwerte ergibt
B
B D 632; 8 nm 1
2 6; 673 10 11 10 30
9 10 16 10 4
9
1
2
3 :
) D 685; 7 nm :

Sender und Empfänger befinden sich auf der Oberfläche des Sterns, d.h. rA D rB und folgt aus (4.2)
für die Wellenlänge 632,8 nm.
ı/ Der Empfänger steht auf der Sternenoberfläche rB D R, der Sender im Satelitenlabor sehr nahe an
der Oberfläche, d.h. 1=RA D 0, damit folgt
A
B
' 1
einsetzen der Zahlenwerte ergibt
B D 632; 8 nm
r
1
2GM
Rc 2
1
2
) B D A
r
2 6; 673 10 11 10 30
10
9 10 16 10 4
1
2GM
;
Rc2 ) D 584 nm :