KLAUSUR Spezielle und Allgemeine Relativitätstheorie SS 10

Aufgabe 4
a) Kovarianzprinzip (Lehrbuch): Im Gravitationsfeld gültige Gleichungen müssen folgende Bedingungen erfüllen
• Kovarianz unter allgemeinen Koordinatentransformationen. Gesetze müssen die Form einer Riemann-
Tensorgleichung haben.
• Gültigkeit im Lokalen Inertialsystem: Für g D muss sich das entsprechende Gesetz der Speziellen
Relativitätstheorie ergeben.
b) In der Äquatorialebene lautet das Schwarzschild-Linienelement
ds 2 D c 2 d 2 D A.r/ c 2 dt 2
daraus folgt sofort die erste Bewegungsgleichung,
c 2 D const: D A.R/ c 2 Pt 2
dR 2
A.R/ R2 d 2 ;
1
A.R/ PR 2 R 2 P 2 ;
da die Lichtgeschwindigkeit eine Konstante ist. Daraus liest man die Lagrange-Funktion ˇ.Pt; R; PR; P/ D
1
2 1
.A.R/ c2Pt 2 A.R/ PR 2 R2 P2 / ab. Die Lagrange-Funktion ist nicht explizit von t und ' abhängig, d.h.
d
d
d
d
@ˇ
@Pt
@ˇ
@ P
d
D 0 D
d A.r/c2 Pt 2 ) A.R/Pt D const: D k ;
d
D 0 D
d
R 2 P ) R 2 P D const: D h ;
c) Für die Bewegung in der Äquatorialebene gilt R D R. /, d.h. dR
d
Bewegungsgleichung aus Teilaufgabe b ergibt
c 2 D A.R/c 2
) dR
d
Mit R D 1=x und dR
d
2
k
A.R/
2
D A.R/R4
h 2
dR dx
D dx d
1
x 4
1
A.R/
c 2 k 2
A.R/
1
D x2 dx
d
dx
d
) dx
d
) dx
d
2
dR
d
c 2
C 1
x
2
2
2 h 2
R 4
dR d
D d d
h2
R2
R4 D c2k2 A.R/
h2 dR
)
R2 d
erhält man daraus
2 .1 ˛x/ D c2
x 4 h 2.k2
D x 2 .1 ˛x/ C c2
h 2.k2
D c2 .k 2 1/
h 2
8
D dR
d
h 2
R 4 A.R/
h
R 2, eingesetzt in die erste
dR
d
2
C R 2 A.R/ D c2R4 1 C ˛x/
1 C ˛x/
C c2 ˛
h 2 x x2 C ˛x 3 :
h 2
2
h 2
R 2
k 2 A.R/ :