KLAUSUR Spezielle und Allgemeine Relativitätstheorie SS 10

4. Schwarzschild-Metrik
In seinem Aufsatz „Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie“, veröffentlicht
im Sitzungsbericht d. k. Preuss. Akad. Wissen. vom 3. Februar 1916, Seiten 189-196, schreibt
K. Schwarzschild: „: : : so ergibt sich das Linienelement, welches die strenge Lösung des Einsteinschen
Problems bildet:“
(4.1)
ds 2 D A.R/ c 2 dt 2 dR2 A.R/ R2 d 2 C sin 2 d 2
A.R/ D 1
˛
R ; R D r3 1
3 3 C ˛ ;
mit der Konstanten ˛, welche von der Größe der im Nullpunkt befindlichen Masse abhängt.
a) Erklären Sie zunächst in Ihren eigenen Worten, was man in der Allgemeinen Relativitätstheorie unter
dem Kovarianzprinzip versteht. (2 Punkte)
Betrachten Sie die Bewegung eines Massenpunktes in der Äquatorialebene, D 2 , der durch (4.1) beschriebenen
Raumzeit.
b) Bestätigen Sie durch Rechnung, dass die Bewegungsgleichungen durch
A.R/ c 2 Pt 2
R 2 P D const: D h ;
1
A.R/ PR 2 R 2 P 2 D const: D c 2 ; A.R/Pt D const: D k ;
mit Px D dx
d als der Ableitung nach der Eigenzeit , gegeben sind. (4 Punkte)
c) Zeigen Sie, dass für die Bewegung in der Äquatorialebene
dx
d
2
D c2 .k 2 1/
h 2
C c2 ˛
h 2 x x2 C ˛x 3
mit x D 1
gilt. (2 Punkte)
R
ŒZwischenergebnis: . dR
d /2 C R 2 A.R/ D c2 R 4
h 2 fk 2 A.R/g
Nimmt man die Sonne, als ruhendes Zentralgestirn an, so gelten für die Bewegungen der Planeten um die
Sonne die drei Keplerschen Gesetze. Das 3. Keplersche Gesetz besagt, dass die Quadrate der Umlaufzeiten
.T1; T2/ zweier Planeten verhalten sich wie die dritten Potenzen der großen Halbachsen .a1; a2/ ihrer
Bahnellipsen. Insbesondere folgt daraus, T 2 =a 3 D const. Die Winkelgeschwindigkeit eines Planeten auf
einer kreisförmigen Umlaufbahn ist ! D d
dt .
d) Leiten Sie vermittelst der Bewegungsgleichungen aus Teilaufgabe 4 b das 3. Keplersche Gesetz für
eine kreisförmigen Planetenorbit, k D 1, in der durch (4.1) beschriebenen Raumzeit ab.
Schwarzschild schreibt: „Bis zur Sonnenoberfläche hin ist die Abweichung dieser Formel vom dritten
Keplerschen Gesetz völlig unmerklich.“ Überprüfen Sie diese Aussage, verwenden Sie ˛ D 2MG
c 2 ,
und berechnen Sie die beiden Kepler-Konstanten aus dem Umlauf des Merkur um die Sonne.
ŒErgebnis:
T 2
r3C˛ 3 8 2
D ˛c2 D const: (5 Punkte)
7
;