KLAUSUR Spezielle und Allgemeine Relativitätstheorie SS 10

Die linke Seite der Einstein Gleichung (3.2) kann erweitert werden durch hinzufügen eines Terms g ,
ohne das dadurch die allgemeine Kovarianz der Feldgleichung zerstört wird.
d) Erklären Sie kurz die Bedeutung der universellen Konstante und begründen Sie, ohne Rechung,
weshalb diese Konstante sehr klein sein muss. (2 Punkte)
Zum Abschluss der Diskussion der Morris-Thorne
Metrik soll die Einbettung der Äquatorialebene,
D 2 , für den fixen Zeitpunkt t in den zylindersymmetrischen
Raum .r; ; z/, beschrieben durch
das Linienelement
(3.3) ds 2 D dz 2 C dr 2 C r 2 d 2 :
betrachtet werden, wie es die nebenstehende Skizze
zeigt.
h
e) Zeigen Sie, dass z.r/ D ˙b0 ln .r=b0/ C p .r=b0/ 2 i
1 mit l D ˙ p r2 b2 0 gilt, verwenden Sie
an geeigneter Stelle (3 Punkte)
Z
dx
p x 2 a 2 D ln x C p x 2 a 2 ; a ¤ 0 :
Betrachten Sie abschließend die kovariante Ableitung D V D @ V V eines kovarianten Vektors V .
Allgemein gilt für die Anwendung der kovarianten Ableitung auf ein Tensorfeld B : D B D @ B
B B .
f) Bestätigen Sie durch Rechnung, dass D D V D D V D R V , mit dem Riemann Tensor
R D @ @ C , gilt. (3 Punkte)
6
(20 Punkte)