KLAUSUR Spezielle und Allgemeine Relativitätstheorie SS 10

Als affinen Parameter wähle man , d.h. Px D dx
d , damit lauten die Euler-Lagrange-Gleichungen allge-
mein
d
d
dˇ
d Px
dˇ
dx
D 0 :
t-Koordinate: Die Lagrange-Funktion ist nicht explizit von t abhängig,
l-Koordiante:
-Koordinate:
0 D d
d
) 0 D R C
d
d
h
.b 2
0 C l2 / Pi
c 2 Pt D 0 ) c 2 Pt D const: ) 0
0 D d
d Pt l P2 C sin 2 P 2 D Rt l P P l sin 2 P P
) 1
22 D l ;
1
33 D l sin2
:
.b 2
0 C l2 / sin cos P 2 D 2l P l P C .b 2
0 C l2 / R .b 2
0 C l2 / sin cos P 2
2l
.b2 0 C l2 / P l P sin cos P P ) 2 2
12 D 21 D
0 :
l
.b 2 0 C l2 / ;
-Koordinate: Die Lagrange-Funktion ist nicht explizit von abhängig,
0 D d
d
.b 2
0 C l2 / sin 2 P ) .b 2
0 C l2 / sin 2 P D const:
) 0 D 2l P l sin 2 P C .b 2
0 C l2 /2 sin cos P P C .b 2
0 C l2 / sin 2 R
D R C
) 3 3
13 D 31 D
2l
.b 2 0 C l2 / P l P C 2 cot P P
l
.b 2 0 C l2 / ;
c) Dem Linienelement der Morris-Thorne Metrik entnimmt man
3 3
23 D 32 D cot
g00 D c 2 ; g11 D 1 ; g22 D .b 2
0 C l2 / und g33 D .b 2
0 C l2 / sin 2
Damit folgt für die Komponenten des Energie-Impuls-Tensors
T00 D
T11 D
T22 D
c2b2 0
.b2 0 C l2 / 2 ) T00 D c 2 b2 0
.b2 0 C l2 b
;
/ 2 2 0
.b2 0 C l2 ;
/ 2
b 2 0
.b 2 0 C l2 / D
T33
sin 2
2
33 D sin cos
Die T00-Komponente ist die Energiedichte des Feldes (Lehrbuch), zur Erzeugung eines Morris-Thorne
Energie-Impuls-Tensors müßte die Energiedichte negativ sein, dies ist im Labor unmöglich.
6
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