KLAUSUR Spezielle und Allgemeine Relativitätstheorie SS 10

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4. Schwarzschild-Metrik In seinem Aufsatz „Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie“, veröffentlicht im Sitzungsbericht d. k. Preuss. Akad. Wissen. vom 3. Februar 1916, Seiten 189-196, schreibt K. Schwarzschild: „: : : so ergibt sich das Linienelement, welches die strenge Lösung des Einsteinschen Problems bildet:“ (4.1) ds 2 D A.R/ c 2 dt 2 dR2 A.R/ R2 d 2 C sin 2 d 2 A.R/ D 1 ˛ R ; R D r3 1 3 3 C ˛ ; mit der Konstanten ˛, welche von der Größe der im Nullpunkt befindlichen Masse abhängt. a) Erklären Sie zunächst in Ihren eigenen Worten, was man in der Allgemeinen Relativitätstheorie unter dem Kovarianzprinzip versteht. (2 Punkte) Betrachten Sie die Bewegung eines Massenpunktes in der Äquatorialebene, D 2 , der durch (4.1) beschriebenen Raumzeit. b) Bestätigen Sie durch Rechnung, dass die Bewegungsgleichungen durch A.R/ c 2 Pt 2 R 2 P D const: D h ; 1 A.R/ PR 2 R 2 P 2 D const: D c 2 ; A.R/Pt D const: D k ; mit Px D dx d als der Ableitung nach der Eigenzeit , gegeben sind. (4 Punkte) c) Zeigen Sie, dass für die Bewegung in der Äquatorialebene dx d 2 D c2 .k 2 1/ h 2 C c2 ˛ h 2 x x2 C ˛x 3 mit x D 1 gilt. (2 Punkte) R ŒZwischenergebnis: . dR d /2 C R 2 A.R/ D c2 R 4 h 2 fk 2 A.R/g Nimmt man die Sonne, als ruhendes Zentralgestirn an, so gelten für die Bewegungen der Planeten um die Sonne die drei Keplerschen Gesetze. Das 3. Keplersche Gesetz besagt, dass die Quadrate der Umlaufzeiten .T1; T2/ zweier Planeten verhalten sich wie die dritten Potenzen der großen Halbachsen .a1; a2/ ihrer Bahnellipsen. Insbesondere folgt daraus, T 2 =a 3 D const. Die Winkelgeschwindigkeit eines Planeten auf einer kreisförmigen Umlaufbahn ist ! D d dt . d) Leiten Sie vermittelst der Bewegungsgleichungen aus Teilaufgabe 4 b das 3. Keplersche Gesetz für eine kreisförmigen Planetenorbit, k D 1, in der durch (4.1) beschriebenen Raumzeit ab. Schwarzschild schreibt: „Bis zur Sonnenoberfläche hin ist die Abweichung dieser Formel vom dritten Keplerschen Gesetz völlig unmerklich.“ Überprüfen Sie diese Aussage, verwenden Sie ˛ D 2MG c 2 , und berechnen Sie die beiden Kepler-Konstanten aus dem Umlauf des Merkur um die Sonne. ŒErgebnis: T 2 r3C˛ 3 8 2 D ˛c2 D const: (5 Punkte) 7 ;
Eine am Ort RA im Gravitationsfeld (4.1), ˛ D 2GM c 2 , ruhende Quelle sendet eine monochromatische elektromagnetische Welle der Frequenz A aus. Am Ort RB ruht ein Beobachter, welcher die Frequenz der Welle mit B beobachtet. Aufgrund des Gravitationsfeldes gilt (4.2) Untersuchen Sie nun abschließend folgende Situationen: B A D s g00.RA/ g00.RB/ : e) In einem frei fallenden Satellitenlabor wird die Wellenlänge eines Helium-Neon Lasers mit 632,8 nm gemessen. Welche Wellenlänge würde der Experimentator messen, wenn ˛) er und der Laser frei in Richtung eines Neutronensterns fallen? (1 Punkt) ˇ) er frei im Satellitenlabor fällt und der Laser von der Oberfläche eines Neutronensterns, m D 10 30 kg, R D 10 4 m, in radialer Richtung auf ihn strahlt. Das Labor befinde sich sehr nahe am Stern, d.h. 1=RLab D 0. (2.5 Punkte) ) beide auf der Oberfläche des Neutronensterns stehen. (1 Punkt) ı) er auf dem Neutronenstern steht und der Laser sich im frei fallenden Satellitenlabor befindet. Das Labor befinde sich wieder sehr nahe am Stern. (2.5 Punkte) ˛/ ˇ/ / ı/ 8 (20 Punkte)
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