KLAUSUR Spezielle und Allgemeine Relativitätstheorie SS 10

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2. Relativistische Kinematik Ein Teilchen mit Ruhemasse m0 und Eigenzeit bewege sich mit einer Geschwindigkeit jEuj < c relativ gegen das Inertialsystem S.t; Ex/. Mit dem Teilchen sei das System S 0 . ; Ex 0 / fest verbunden. Die Achsen der beiden Systeme seien gleich orientert. Die verallgemeinerte Newtonsche Bewegungsgleichung ist F D dp d mit p D .E=c; Ep/ und E als der relativistischen Energie des Teilchens. a) Zeigen Sie durch Rechnung, dass die 0-Komponente der Kraft durch F 0 D c ; dE dt gegeben ist. Für Teilchen, die zusäztlich eine Ladung q tragen, lautet die kovariante Form der Lorentz-Kraft F D q c @ .u A / dA d mit A D .V; EA/ (1 Punkt) als dem Viererpotential, V.Ex; t/ dem elektrischen Potential, der Vierergeschwindigkeit u D dx d , j P 3 iD1 ui j D const:, und @ D @ @x D . @ @.ct/ ; Er/. b) Berechnen Sie zunächst das Skalarprodukt u A . Bestätigen Sie sodann, dass sich die 0-Komponente der Lorentz-Kraft F darstellen läßt als dE dt D qEu E; verwenden Sie an geeigneter Stelle die Maxwell-Gleichung: ED 1 @ EA c @t grad V . ŒTeilergebnis: u A D .cV Eu EA/ (4 Punkte) Das Teilchen wird auf die Geschwindigkeit u0 beschleunigt. Nach Durchlaufen einer bestimmten Strecke s zerfällt es in zwei Teilchen mit den Massen m1 und m2. c) Berechnen Sie die kinetische Energie, die das Teilchen mindestens haben muss, damit seine Geschwindigkeit größer als 80% der Lichtgeschwindigkeit ist. Betrachten Sie nun den Zerfall des Teilchens in seinem Ruhesystem. (2 Punkte) d) Geben Sie die Erhaltungsgrößen für den Teilchenzerfall an. Berechnen Sie sodann die relativistischen der beiden Teilchen im Ruhesystem des zerfallenden Teilchens. Energien E 0 1 und E0 2 Teilergebnis: .p 0 1 /2 c 2 D c 4 m 2 0 Cm2 1 m2 2 2m0 2 m 2 1 (8 Punkte) Betrachten Sie nun den Zerfall des Teilchens im ruhenden Laborsystem. Die Komponenten der Impulse im Laborsystem Ep1 und Ep2 können jeweils zerlegt werden in einen Anteil parallel (k) und senkrecht (?) bezüglich des Teilchenimpulses Ep0. 3
e) Erläutern Sie, dass für die Energie und Impulskomponten der Zerfallsteilchen im Laborsystem Ei D E 0 i C ˇ Ep0 ikc und Epi;k D Ep 0 ˇ ik C c E0 i ; i D 1; 2 ; gilt. (2 Punkte) Abschließend wird der Spezialfall untersucht, dass eines der beiden Zerfallsteilchen im Laborsystem stehen bleibt. Der Impuls Epm den das zerfallende Teilchen dazu haben muss, wird als magischer Impuls bezeichnet. f) Berechnen Sie den magischen Impuls Epm des zerfallenden Teilchens, wenn das Teilchen 1 im Laborsystem stehen bleiben soll. Verwenden Sie dazu Ihre bisherigen Ergebnisse. 4 (3 Punkte) (20 Punkte)
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