12. Aufgabenblatt: gewöhnliche Differentialgleichungen und ...

Mathematik-Brückenkurs für Bauingenieure 2011/2012 10
1 1 2
b) C1 +C2 = ⇒ C2 = 4, C1 = −2
0 1 4
⇒ Lsg. des AWP: x(t) = −2e−t
1
+4e
0
2t
1
1
c)
e−t e2t 0 e2t
C ′
1 (t)
C ′ 2 (t)
=
e 2 2t
t
2e2t +4te2t
t
⇒e 2t C ′ 2(t) = 2e2t +4te2t t
⇒ C ′
e2t +2te2t 2(t)dt = 2
te2t dt
⇒C2(t) = 2ln|te 2t | (+α1)
⇒e −t C ′ 1 +e2t C ′ 2
⇒e −t C ′ 1 = −4e 2t
⇒C ′ 1 = −4e3t
⇒C1 = − 4
3 e3t
= 2e2t
t
(+α2)
⇒ x(t) = x0(t)+x∗(t) = α1e −t
1
0
+α2e 2t
1
1
12. Gegeben sei die Matrix
⎛ ⎞
−2 −2 −3
⎜ ⎟
A := ⎜
⎝−1
−2 −2⎟
⎠
1 1 1
.
Bestimmen Sie die allgemein Lösung der DGL ˙ x = Ax.
− 4
3 e3te −t
1
0
+2ln|te 2t |e 2t
1
1
Lösung: Eigenwerte von A:
⎛ ⎞
−2−λ −2 −3
⎜ ⎟
det(A−λI) = det⎜
⎝ −1 −2−λ −2 ⎟
⎠ = (−2−λ)(−2−λ)(1−λ)+4+3−3(2+λ)−2(1−λ)−2(2+λ)
1 1 1−λ
= (λ 2 +4λ+4)(1−λ)−5−3λ = −λ 3 −3λ 2 −3λ−1 = −(λ+1) 3 ⇒ λ1,2,3 = −1ist EW mit algebraischer VF 3
Eigenvektoren von A: (A−λI)x =0
⎛ ⎞
−1 −2 −3
⎜ ⎟
⎜
⎝−1
−1 −2⎟
⎠
1 1 2
x =0
⎛ ⎞
1 2 3
⎜ ⎟
⇔ ⎜
⎝0
1 1⎟
⎠
0 0 0
x =0
⎛ ⎞
−1
⎜ ⎟
⇒ x = t⎜
⎝−1
⎟
⎠ t ∈ R
1
⎛ ⎞
−1
⎜ ⎟
⇒ v1 = ⎜
⎝−1
⎟
⎠ ist Eigenvektor. ⇒ λ = −1 besitzt geometrische VF 1 ⇒ Hauptvektoren 2. und 3. Stufe
1
bestimmen. Da die geometrische VF gleich 1 ist, kann man die Hauptvektorkette eines Hauptvektors der Stufe
l über
(A−λI)vk =vk−1, k = 2,...,l