12. Aufgabenblatt: gewöhnliche Differentialgleichungen und ...

Mathematik-Brückenkurs für Bauingenieure 2011/2012 9
⎛ ⎞⎛
⎞
4 4 1 −1
⎜ ⎟⎜
⎟
Bv2 = ⎜
⎝−2
3 2⎟
⎜
⎠⎝
−i ⎟
⎠
1 −4 4 1
=
⎛ ⎞
−3−4i
⎜ ⎟
⎜
⎝ 4−3i ⎟
⎠
3+4i
= (3+4i)v2 ⇒ v2 ist EV zum EW λ = 3+4i
⇒ v2 ist EV zum EW λ = 3−4i
⇒ Die Fundamentallsg. von ˙ x = Bx lauten
x1(t) = e λ1 v1, x2(t) = Re(e λ2 v2), x3(t) = Im(e λ2 v2).
e λ2v2 = e (3+4i)t
⎛ ⎞
−1
⎜ ⎟
⎜
⎝ −i ⎟
⎠
1
= e3te i4t
⎛⎛
⎞
−1
⎜⎜
⎟
⎜⎜
⎝⎝
0 ⎟
⎠
1
+i
⎛ ⎞⎞
0
⎜ ⎟⎟
⎜
⎝−1
⎟⎟
⎠⎠
0
= e3t ⎛⎛
⎞
−1
⎜⎜
⎟
(cos(4t)+isin(4t)) ⎜⎜
⎝⎝
0 ⎟
⎠
1
+i
⎛ ⎞⎞
0
⎜ ⎟⎟
⎜
⎝−1
⎟⎟
⎠⎠
0
= e 3t
⎛
⎜
⎝cos(4t) ⎛ ⎞
−1
⎜ ⎟
⎜
⎝ 0 ⎟
⎠
1
−sin(4t)
⎛ ⎞⎞
0
⎜ ⎟⎟
⎜
⎝−1
⎟⎟
⎠⎠
0
+ie3t
⎛
⎜
⎝sin(4t) ⎛ ⎞
−1
⎜ ⎟
⎜
⎝ 0 ⎟
⎠
1
+cos(4t)
⎛ ⎞⎞
0
⎜ ⎟⎟
⎜
⎝−1
⎟⎟
⎠⎠
0
⇒ die allg. reelle Lsg. von ˙ x = Bx lautet
x(t) = c1e 5t
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
1 −cos(4t) −sin(4t)
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜
⎝0
⎟ 3t
⎠ +c2e ⎜
⎝ sin(4t) ⎟ 3t
⎠ +c3e ⎜
⎝−cos(4t)
⎟
⎠
1 cos(4t) sin(4t)
c1,c2,c3 ∈ R
11. a) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung des Differentialgleichungssystems:
Lösung:
˙x1 = −x1 +3x2
˙x2 = 2x2
b) Geben Sie die Lösungen des Anfangswertproblems mit der Anfangsbedinung x1(0) = 2, x2(0) = 4
an.
c) Wie verändert sich die allgemeine Lösung, falls die Differentialgleichung wie folgt abgeändert wird:
a) Löse ˙ x = Ax mit x =
Eigenwerte von A:
˙x1 = −x1 +3x2 +2 1
t e2t , ˙x2 = 2x2 + 1
t (2e2t +4te 2t ).
det(A−λI) = det
x1
x2
und A =
−1 3
.
0 2
−1−λ 3
0 2−λ
= −(1+λ)(2−λ) ⇒ λ1 = −1,λ2 = 2.
Eigenvektoren von A: (A−λI) =0
0 3
1
λ1 = −1 : x =0 ⇒ x2 = 0, x1 = s, s ∈ R ⇒ v1 =
0 3
0
−3 3
1
λ2 = 2 : x =0 ⇒ x2 = s, x1 = s, s ∈ R ⇒ v1 =
0 0
1
⇒ allg. Lsg.: x(t) = C1e−t
1
0
+C2e2t
1
1