12. Aufgabenblatt: gewöhnliche Differentialgleichungen und ...

Mathematik-Brückenkurs für Bauingenieure 2011/2012 13
15. Lösen Sie mit Hilfe der Laplace-Transformation die Anfangswertaufgabe
y ′ −4y = 1, y(0) = 1.
Lösung: Analog zur vorhergehenden Aufgabe:
pY(p)−y(0)−4Y(p) = 1 1+p
p ⇒ Y(p) = p(p−4)
⇒ Y(p) = −1 1 5 1
4 p + 4 p−4 ⇒ y(t) = L−1 {Y(p)} = −1 4
!
= A B A(p−4)+Bp (A+B)p−4A
p + p−4 = p(p−4) = p(p−4)
5 + 4e4t (Tabelle)
16. Berechnen Sie mittels Laplace-Transformation die Lösung des AWPs
y ′′ +5y ′ +6y = te −2t , y(0) = y0, y ′ (0) = y1.
Lösung: Sei L{y(t)} = Y(p).
L{y ′ (t)} = pY(p)−y(0) = pY −y0 (Ableitungssatz)
L{y ′′ (t)} = p2Y −py(0)−y ′ (0) = p2Y −py0 −y1 (Ableitungssatz)
L{te−2t } = 1
(p+2) 2 (Tabelle)
In DGL:
p2Y −py0 −y1 +5pY −5y0 +6Y = 1
⇒ Y(p) =
(p+2) 2
1
(p 2 +5p+6)(p+2) 2 + py0+5y0+y1
p 2 +5p+6 = 1
(p+2) 2 (p+3)
(p+2)y0 3y0+y1 + (p+2)(p+3) + (p+2)(p+3)
⇒ y(t) = L−1 {Y(p)} 13b)
= e−2t (−(e−t −1)−t+ 1
2t2 )+y0e −3t +(3y0 +y1)(e−2t −e−3t )
= −(1+2y0 −y1)e−3t +(1−t+ 1
2t2 +3y0 +y1)e−2t 5 ⇒ A = −1
4 , B = 4