12. Aufgabenblatt: gewöhnliche Differentialgleichungen und ...

Mathematik-Brückenkurs für Bauingenieure 2011/2012 5
(1−4+6−4)Ae x = −Ae x
Koeffizientenvergleich mit der rechten Seite der DGL:
⇒ A = −1
⇒ y∗(x) = −e x
⇒ y(x) = y0(x)+y∗(x) = C1e 2x +C2e x cos(x)+C3e x sin(x)−e x
• 2e 2x
⇒ Ansatz: y∗(x) = Ax 1 e 2x (x = 2 ist einfache NST des char. Polynoms)
⇒ y ′ ∗ (x) = A(e2x +2xe 2x ), y ′′
∗ (x) = A(4e2x +4xe 2x ), y ′′′
∗ (x) = A(12e2x +8xe 2x )
Einsetzten in die linke Seite der DGL:
A(12e 2x +8xe 2x −16e 2x −16xe 2x +6e 2x +12xe 2x −4xe 2x ) = 2Ae 2x
Koeffizientenvergleich mit der rechten Seite der DGL:
⇒ A = 1
⇒ y∗(x) = xe 2x
⇒ y(x) = y0(x)+y∗(x) = C1e 2x +C2e x cos(x)+C3e x sin(x)+xe 2x
• cos(x)
⇒ Ansatz: y∗(x) = A1sin(x)+A2cos(x)
⇒ y ′ ∗ (x) = A1cos(x)−A2sin(x), y ′′
∗ (x) = −A1sin(x)−A2cos(x), y ′′′
∗ (x) = −A1cos(x)+A2sin(x)
Einsetzen in die linke Seite der DGL:
A1cos(x)+A2sin(x)−4(−A1sin(x)−A2cos(x))+6(A1cos(x)−A2sin(x))−4(A1sin(x)+A2cos(x))
= 5A1cos(x)−5A2sin(x)
Koeffizientenvergleich mit der rechten Seite der DGL:
⇒ A1 = 1
5 , A2 = 0
⇒ y∗(x) = 1
5 sin(x)
⇒ y(x) = C1e2x +C2ex cos(x)+C3e xsin(x)+ 1
5 sin(x)
d) y(x) = C1e2x +C2ex cos(x)+C3e xsin(x)−x 2 −3x−3−e x +xe2x + 1
5 sin(x)
Alternativ: Variation der Konstanten am Beispiel f(x) = 4x2 +2:
⎛
e
⎜
⎝
2x excos(x) exsin(x) 2e2x excos(x)−e xsin(x) exsin(x)−e x ⎞ ⎛
C
⎟ ⎜
cos(x) ⎟ ⎜
⎠ ⎝
′ 1 (x)
C ′ 2 (x)
⎞
⎟
⎠ =
⎛
⎜
⎝
0
0
4x2 ⎞
+2
⎟
⎠
4e 2x −2e x sin(x) 2e x cos(x)
C ′ 3 (x)
→ Gleichungssysten lösen (aufwändig) → Ck(x) = C ′ k (x)dx, → y(x) = n
k=1 Ck(x)yk(x)
7. Gegeben sei die Differentialgleichung
Lösung:
y (4) +2y ′′′ −2y ′′ −6y ′ +5y = 1+e −x
a) Bestimmen Sie alle Lösungsfunktionen der zugehörigen homogenen Differentialgleichung.
b) Welche Lösungen der homogenen Differentialgleichung erfüllen
y(0) = 0, y( π
) = 1 und lim y(x) = 0?
2 x→∞
c) Bestimmen Sie alle Lösungen der gegebenen inhomogenen Differentialgleichung.
a) Lösung der homogenen Differentialgleichung