12. Aufgabenblatt: gewöhnliche Differentialgleichungen und ...

Mathematik-Brückenkurs für Bauingenieure 2011/2012 2
Im Fall 8−3y = 0 erkennt man, dass y = 8
3
a) y(0) = c4 + 8
3
b) y(0) = c4 + 8
3
c) y(0) = c4 + 8
3
d)
e)
⇒ y = c4e −3x + 8
3
!
= 2 ⇒ c4 = − 2
!
= 4 ⇒ c4 = 4
3
3
c4 ∈ R
ebenfalls eine Lösung ist
⇒ y(x) = −2
3e−3x + 8
3
⇒ y(x) = 4
3 e−3x + 8
3
!
= 8
3 ⇒ c4 = 0 ⇒ y(x) = 8
3
4x+xy 2 +(y +x 2 y)y ′ = 0
⇔ x(4+y 2 )+yy ′ +x 2 yy ′ = 0
⇔ x(4+y 2 )+(1+x 2 )yy ′ = 0
⇔ (1+x 2 )yy ′ = −x(4+y 2 )
⇔ yy′ −x
=
4+y 2 1+x 2
y x
⇔ dy = − dx
4+y 2 1+x 2
⇔ 1
2 ln|4+y2 | = − 1
2 ln|1+x2 |+c0 c0 ∈ R
⇔ ln|4+y 2 | = ln|1+x 2 | −1 +2c0
⇔ 4+y 2 = c1
1+x 2 c1 > 0
⇔ (4+y 2 )(1+x 2 ) = c1
mit y(1) = 2 gilt: (4+2 2 )(1+1 2 ) = c1 ⇒ c1 = 16
⇒ implizite Darstellung der Lösung: (4+y 2 )(1+x 2 ) = 16
y ′ = tanx
cosy
⇔ cosydy =
tanxdx
⇔ siny = −ln|cosx|+c0
⇒ implizite Darstellung der Lösung des AWPs lautet: siny = −ln|cosx|
3. Gegeben ist die Differentialgleichung
(x 2 −4)y ′ = xy.
Bestimmen Sie die allgemeine Lösung!
Lösung:
(x 2 −4)y ′ = xy
⇔ y′
y
= x
x 2 −4
Beachte: y = 0 und x = ±2. Für x = ±2 muss y = 0 gelten.
Siehe spätere Betrachtung dieses Falles.
1 x
⇔ dy =
y x2 −4 dx
⇔ ln|y| = 1
2 ln|x2 −4|+c0 c0 ∈ R
⇔ |y| = c1 |x2 −4| c1 > 0
⇔ y = c2 |x2 −4| c2 = 0
|x2 −4| c3 ∈ R Beachte: y = 0 wieder enthalten. y = 0 ist ebenfalls Lösung.
⇔ y = c3