12. Aufgabenblatt: gewöhnliche Differentialgleichungen und ...

Mathematik-Brückenkurs für Bauingenieure 2011/2012 12
Zähler vergleichen: p ! = A1(p+b)+A2(p+a)
Koeffizientenvergleich oder spezielle Werte einsetzen:
p = −b : A2(a−b) ! = −b ⇒ A2 = −b
a−b
p = −a : −A1(a−b) ! = −a ⇒ A1 = a
a−b
⇒ F(p) = 1
a b
a−b p+a − p+b
ae−at −be−bt (Tabelle und Additionssatz)
⇒ L −1 {F(p)} = 1
a−b
• F(p) = 1
(p+a) 3 (p+b) =
1
(p+a) 3 (p+a+b−a) =: G(p+a), wobei G(p) = 1
p3 (p+c)
Sei L −1 {G(p)} = g(t) ⇒ L −1 {G(p+1)} = e −at g(t) (Dämpfungssatz)
Bestimme g(t):
mit c := b−a.
L−1 { 1
p+c } = e−ct (Tabelle)
L−1 { 1 1
p p+c } = t
0 e−cτ dτ = −1
c e−ct −1 (Integralsatz f. OF)
L−1 { 1
p2 1
p+c } = t
0 −1
c e−ct 1 −1 dτ = c2
e−ct t −1 + c (Integralsatz f. OF)
L−1 { 1
p3 1
p+c } = t 1
0 c2
e−ct t 1 −1 + c dτ = −c3
e−ct t −1 − c2 + t2
2c = g(t) (Integralsatz f. OF)
⇒ f(t) = L−1 {F(p)} = L−1 {G(p+a)} = e−at
− 1
c3
e−ct t −1 − c2 + t2
2c
• L−1 1 { p2 +a2} = 1
a sin(at) (Tabelle)
⇒ L−1 { 1 1
p p2 +a2} = t 1 1
0 a sin(aτ)dτ = −a2 cos(at)+ 1
a2 = 1−cos(at)
a2 (∗) (Integralsatz f. OF)
• L−1 { 1 1
p+1 (p+1) 2 +a2} = e−t1−cos(at) a2 ((∗) und Dämpfungssatz)
•
p2 +p+2
(p−1) 2 ((p−1) 2 +1) = (p−1)2 +3p+1
(p−1) 2 ((p−1) 2 +1) = 1
= 1
(p−1) 2 +1 +
⇒L −1 {
3
(p−1)((p−1) 2 +1) +
(p−1) 2 +1 +
4
(p−1) 2 ((p−1) 2 +1)
p2 +p+2
(p−1) 2 ((p−1) 2 +1) } = etsin(t) = e t (3+4t−3sin(t)−3cos(t))
(Tabelle und Dämpfungssatz)
3(p−1)+4
(p−1) 2 ((p−1) 2 +1)
Alternativ: Partialbruchzerlegung
+ 3e t (1−cos(t))
+ 4e
((∗) und Dämpfungssatz)
t (t−sin(t))
((∗), Integralsatz und Dämpfungssatz)
14. a) Zerlegen Sie die folgende gebrochenrationale Funktion in ihre Partialbrüche.
Lösung:
17
x2 +1 ·
1
x−4
b) Berechnen Sie das Integral:
17
(t 2 +1)(t−4) dt
c) Lösen Sie mit Hilfe der Laplace-Transformation die Anfangswertaufgabe
y ′ −4y = 17sint, y(0) = 0.
a) Partialbruchzerlegung: 17
(x 2 +1)(x−4)
b)
Hauptnenner: (Ax+B)(x−4)+C(x2 +1)
(x2 +1)(x−4)
Zähler vergleichen:
x = 4: C = 1
x = 0: −4B +1 = 17 ⇒ B = −4
!
= Ax+B
x = 1: (A−4)(−3)+2 = 17 ⇒ A = −1
= −x−4
x 2 +1
+ 1
x−4
= − x
x 2 +1
x 2 +1
+ C
x−4
!
= 17
(x 2 +1)(x−4)
− 4
x 2 +1
+ 1
x−4
17 ⇒ (x2 +1)(x−4)
17
(t2 dt = −1
+1)(t−4) 2 ln(t2 +1)−4arctan(t)+ln|t−4|+c
c) Ableitungssatz mit Y(p) = L{y(t)} und Tabelle ergibt
pY(p)−y(0)−4Y(p) = 17
p 2 +1 ⇒ Y(p) = 17
(p 2 +1)(p−4)
⇒ y(t) = cos(t)−4sin(t)+e 4t (Tabelle)
a)
= − p
p2 1 −4 +1 p2 1 + +1 p−4