12. Aufgabenblatt: gewöhnliche Differentialgleichungen und ...

Mathematik-Brückenkurs für Bauingenieure 2011/2012 4
• y2(x) = sinh(2x), y ′ 2 (x) = 2cosh(2x), y′′ 2 (x) = 4sinh(2x), y′′′ 2 (x) = 8cosh(2x)
in DGL ⇒ 2·8cosh(2x)+6·4sinh(2x)−8·2cosh(2x)−24sinh(2x) = 0
⇒ y2(x) ist Lösung der Differentialgleichung
• y3(x) = e −3x , y ′ 3 (x) = −3e−3x , y ′′
3 (x) = 9e−3x , y ′′′
3
(x) = −27e−3x
in DGL ⇒ 2·(−27)e −3x +6·9e −3x −8·(−3)e −3x −24e −3x = 0
⇒ y3(x) ist Lösung der Differentialgleichung
• y4(x) = 3e −2x +(e x ) 2 = 3e −2x +e 2x , y ′ 4 (x) = −6e−2x +2e 2x , y ′′
4 (x) = 12e−2x +4e 2x ,
y ′′′
4 (x) = −24e−2x +8e 2x
in DGL ⇒ 2·(−24e −2x +8e 2x )+6·(12e −2x +4e 2x )−8·(−6e −2x +2e 2x )−24(3e −2x +e 2x ) = 0
⇒ y4(x) ist Lösung der Differentialgleichung
b) y(x) = 1−2x+x 2 , y ′ (x) = −2+2x, y ′′ (x) = 2, y ′′′ (x) = 0
in DGL ⇒ 6·2−8(−2+2x)−24(1−2x+x 2 ) = −24x 2 +32x+4 =: f(x)
6. a) Bestimmen Sie alle Nullstellen des Polynoms p(x) = x 3 −4x 2 +6x−4.
b) Lösen Sie die Differentialgleichung
y ′′′ −4y ′′ +6y ′ −4y = 0.
c) Bestimmen Sie spezielle Lösungen der folgenden Differentialgleichungen:
• y ′′′ −4y ′′ +6y ′ −4y = 4x2 +2, • y ′′′ −4y ′′ +6y ′ −4y = 2e2x ,
• y ′′′ −4y ′′ +6y ′ −4y = ex , • y ′′′ −4y ′′ +6y ′ −4y = cos(x).
d) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung
Lösung:
a) p(x) = x 3 −4x 2 +6x−4
y ′′′ −4y ′′ +6y ′ −4y = 4x 2 +2+e x +2e 2x +cos(x)
Rate Nst x = 2: p(2) = 8−16+12−4 = 0 (passt)
Horner-Schema oder Polynomdivision:
⎫
1 -4 6 -4 ⎪⎬
2 -4 4 ⇒ p(x) = (x−2)(x
⎪⎭ 2 1 -2 2 0
2 −2x+2) ⇒ p(x) = (x−2)(x−1−i)(x−1+i) (z.B. p-q-F)
b) charakteristisches Polynom bilden: p(x) = x 3 −4x 2 +6x−4
⇒ y0(x) = C1e 2x +C2e x cos(x)+C3e x sin(x) (Lösung der homogenen Differentialgleichung)
c) • 4x 2 +2 Polynom 2. Grades
⇒ Ansatz: y∗(x) = A0 +A1x+A2x 2 , y ′ ∗ (x) = A1 +2A2x, y ′′
Einsetzen in die linke Seite der DGL:
∗ (x) = 2A2, y ′′′
∗
(x) = 0
−4·2A2 +6(A1 +2A2)−4(A0 +A1x+A2x 2 ) = −4A2x 2 +(−4A1 +12A2)x+(−4A0 +6A1 −8A2)
Koeffizientenvergleich mit der rechten Seite der DGL:
⇒ A2 = −1, A1 = −3, A0 = −3
⇒ y∗(x) = −x 2 −3x−3
⇒ y(x) = y0(x)+y∗(x) = C1e 2x +C2e x cos(x)+C3e x sin(x)−x 2 −3x−3
• e x
⇒ Ansatz: y∗(x) = Aex = y ′ ∗ (x) = y′′ ∗ (x) = y′′′ ∗ (x)
Einsetzen in die linke Seite der DGL: