12. Aufgabenblatt: gewöhnliche Differentialgleichungen und ...

Mathematik-Brückenkurs für Bauingenieure 2011/2012 11
bestimmen.
HV der Stufe 2:
⎛ ⎞
1
⎜ ⎟
⇒ v2 = ⎜
⎝0
⎟
⎠ ist Hauptvektor der Stufe 2.
0
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
−1 −2 −3 −1
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜
⎝−1
−1 −2⎟
⎠x = ⎜
⎝−1
⎟
⎠
1 1 2 1
⇔
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
1 2 3 1
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜
⎝0
1 1⎟
⎠x = ⎜
⎝0
⎟
⎠
0 0 0 0
⎛ ⎞
−1
⎜ ⎟
⇒ x = t⎜
⎝−1
⎟
⎠
1
+
⎛ ⎞
1
⎜ ⎟
⎜
⎝0
⎟
⎠
0
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
−1 −2 −3 1
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
HV der Stufe 3: ⎜
⎝−1
−1 −2⎟
⎠x = ⎜
⎝0
⎟
⎠
1 1 2 0
⇔
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
1 2 3 −1 −1
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜
⎝0
1 1⎟
⎠x = ⎜
⎝−1
⎟
⎠ ⇒ x = t⎜
⎝−1
⎟
⎠
0 0 0 0 1
+
⎛ ⎞
1
⎜ ⎟
⎜
⎝−1
⎟
⎠
0
⎛ ⎞
1
⎜ ⎟
⇒ v3 = ⎜
⎝−1
⎟
⎠ ist Hauptvektor der Stufe 2.
0
⇒ allg. Lsg. von ˙ x = Ax: x(t) = e−t [c1v1 +c2(v2 +tv1)+c3(v3 +tv2 + t2
2v1)] ⎡ ⎛ ⎞ ⎛⎛
⎞ ⎛ ⎞⎞
⎛⎛
⎞ ⎛ ⎞
−1 1 −1 1 1
⇒ x(t) = e −t
⎢
⎣ c1
⎜ ⎟
⎜
⎝−1
⎟
⎠
1
+c2
⎜⎜
⎟
⎜⎜
⎝⎝0
⎟
⎠
0
+t
⎜ ⎟⎟
⎜
⎝−1
⎟⎟
⎠⎠
1
+c3
⎜⎜
⎟
⎜⎜
⎝⎝−1
⎟
⎠
0
+t
⎜ ⎟
⎜
⎝0
⎟
⎠
0
13. a) Bestimmen Sie die L-Transformierte von
t
sin(aτ)dτ, sin 2 (t), e 2t −e −2t , e 2t cos(at),
0
cos(at)−cos(bt),
t
(cos(aτ)−cos(bτ))dτ.
0
b) Bestimmen sie f(t), wenn F(p) gegeben ist durch
p
(p+a)(p+b) ,
1
(p+1)((p+1) 2 +a 2 ) ,
1
(p+a) 3 (p+b) ,
1
p(p 2 +a 2 ) ,
p 2 +p+2
(p−1) 2 ((p−1) 2 +1) .
Lösung:
a) • L{sin(at) = a
p2 +a2 (Tabelle)
⇒ L{ t 1 a
0 sin(aτ)dτ} = p p2 +a2 (Integralsatz f. die Originalfunktion)
• sin2 (t) A.T.
= 1
2 (1−cos(2t)) =: f(t)
⇒ L{f(t)} = 1
1 p
2 p − p2
(Tabelle und Additionssatz)
+4
• L{e2t −e−2t } = 1 1 − (Tabelle und Additionssatz)
b) • F(p) :=
+ t2
2
p−2 p+2 = 4
(p−2)(p+2)
• L{e2t p−2
cos(at)} = (p−2) 2 +a2 (Tabelle und Dämpfungssatz)
• L{cos(at)−cos(bt)} = p
p2 +a2 − p
p2 +b2 (Tabelle)
• L{ t
1
0 (cos(aτ)−cos(bτ))dτ} = p2 +a2 − 1
p2 +b2 (Integralsatz f. die Originalfunktion)
p
(p+a)(p+b)
p !
Partialbruchzerlegung: (p+a)(p+b) = A1 A2
p+a + p+b
Hauptnenner bilden: A1(p+b)+A2(p+a)
(p+a)(p+b)
t ∈ R
t ∈ R
⎛ ⎞⎞⎤
−1
⎜ ⎟⎟⎥
⎜
⎝−1
⎟⎟⎥
⎠⎠⎦
1
c1,c2,c3 ∈ R