12. Aufgabenblatt: gewöhnliche Differentialgleichungen und ...

Mathematik-Brückenkurs für Bauingenieure 2011/2012 3
4. Mittels Potenzreihenansatz löse man das Anfangswertproblem für (1 + x 2 )y ′′ + xy ′ − y = 0 mit den
Anfangswerten y(0) = 0, y ′ (0) = 1 bzw. y(0) = y ′ (0) = 1.
Lösung: Ansatz:
y(x) =
⇒y ′ (x) =
∞
k=0
∞
k=1
ak(x−x0) k x0=0
=
akkx k−1 , y ′′ (x) =
Einsetzen in die Differentialgleichung:
k=2
k=2
∞
akx k
k=0
∞
akk(k −1)x k−2
k=2
∞
0 = akk(k −1)x k−2 ∞
+ akk(k −1)x k ∞
+ akkx k ∞
− akx k
=
=
∞
k=0
∞
k=0
ak+2(k +2)(k +1)x k +
k=0
k=1
k=0
k=0
∞
akk(k −1)x k ∞
+ akkx k ∞
− akx k
[ak+2(k +2)(k +1)+akk(k −1)+akk −ak]x k
⇒ak+2(k +2)(k +1) = ak(1−k−k(k −1))
⇒ak+2 = 1−k
k +2 ak (∗)
⇒ a0 und a1 sinf frei wählbar
aus (∗) folgt für k = 1: a3 = 0
⇒a2n+1 = 0 ∀n ∈ N
⇒y(x) = a0 +a1x+
∞
n=1
a2nx 2n
(∗∗)
Anfangswerte:
a) y(0) = 0 ⇒ a0 = 0, y ′ (0) = 1 ⇒ a1 = 1 ⇒ y(x) = x
b) y(0) = 1 ⇒ a0 = 1, y ′ (0) = 1 ⇒ a1 = 1 ⇒ Lösung gegeben mit (∗) und (∗∗).
5. Gegeben sei die Differentialgleichung
2y ′′′ +6y ′′ −8y ′ −24y = 0
a) Zeigen Sie, dass die folgenden vier Funktionen Lösungen dieser Differentialgleichung sind:
y1(x) = cosh2x, y2(x) = sinh2x, y3(x) = e −3x , y4(x) = 3e −2x +(e x ) 2
b) Für welche rechte Seite f(x) ist die Funktion
y = 1−2x+x 2
eine Lösung der Differentialgleichung 2y ′′′ +6y ′′ −8y ′ −24y = f(x)?
Lösung:
a) • y1(x) = cosh(2x), y ′ 1 (x) = 2sinh(2x), y′′ 1 (x) = 4cosh(2x), y′′′ 1 (x) = 8sinh(2x)
in DGL ⇒ 2·8sinh(2x)+6·4cosh(2x)−8·2sinh(2x)−24cosh(2x) = 0
⇒ y1(x) ist Lösung der Differentialgleichung
k=0