Formelsammlung

Formelsammlung Wirtschaftsmathematik BIS
1. Arithmetik / Algebra
1.1. Logarithmen
log(ab) = log(a) + log(b)
log(a:b) = log(a) - log(b)
log(a b ) = blog(a)
log(1) = 0
log10(a) = lg(a)
loge(a) = ln(a)
b x = a =>
lg( a)
ln( a)
x logb
( a)
lg( b)
ln( b)
1.2. Binomischer Lehrsatz
( a b)
n
n n i
a b
i
i
0
ni
1.3. Binomialkoeffizient
n
n!
k
mit n, k N0 und n k
k!
( n k)!
1.4. Auflösung von Gleichungen
(a) Lineare Gleichungen
ax + b = 0 =>
b
x mit a 0
a
(b) Quadratische Gleichungen
x 2 2
p p
+ px + q = 0 => x1, 2 q
2 4
ax 2 + bx + c = 0 =>
x
1,
2
b
2
b 4ac
2a
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2. Analysis
2.1. Ableitungsregeln
Seien f,g: RR; sei aR
[af(x)]’ = af’(x)
[f(x)g(x)]’ = f’(x)g’(x) Summenregel
[f(x)g(x)]’ = f’(x)g(x)+f(x)g’(x) Produktregel
'
f ( x)
f '(
x)
g(
x)
f ( x)
g'(
x)
2
g(
x)
g(
x)
Quotientenregel
[g(f(x))]’ = g’(f(x)) f’(x) Kettenregel
2.2. Wichtige Ableitungen
f(x) f’(x)
c 0
x a
e x
x x
a x
ax a-1
e x
ln(x) 1/x
(ln(x)+1)x x
ln(a)a x
loga(x) 1/(xln(a))
2.3. Integrationsregeln
Ist F(x) eine Stammfunktion zu f(x) über einem Intervall I R, so gilt:
b
a
b
f ( x)
dx F(
b)
F(
a)
(a, b I; a < b)
( ( x)
g(
x))
dx f ( x)
dx
a
c
b
f g(
x)
dx
x)
dx f ( x)
dx
a
b
a
a
c
b
b
a
f ( f ( x)
dx
(a, b, c I; a < b < c)
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2.4. Wichtige Stammfunktionen
f(x) F(x)
x
a 1 a1
e x
x
a 1
e x
1/x ln(x)
2.5. Elastizität
f
f x f
( x)
x
f ( x)
f '(
x)
x
f ( x)
x
f ( x)
x
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3. Finanzmathematik
Im folgenden Kapitel gelten folgende Namenskonventionen:
K0
Kn
Anfangskapital
i Zinssatz
Endkapital nach n Jahren
q = 1 + i Aufzinsungsfaktor
n Laufzeit in Jahren
m Anzahl unterjähriger Perioden
q m
i
1 Aufzinsungsfaktor bei unterjährigen Perioden
m
i’ Effektivzins
q’ = 1 + i’ Aufzinsungsfaktor bei Effektivzins
Rn
Rentenkapital nach n Jahren
r periodische Rentenleistung
Jährliche Verrechnung Innerjährliche Verrechnung
(1) Prozentrechnung (K Grundwert, p Prozentfuß, i Prozentsatz, Z Prozentwert)
Z K i
K
p
100
(2) lineare Verzinsung
K n
K
( 1
n i)
0
(3) Verzinsung mit Zinseszins
K n K 0
q
n
(4) effektiver Jahreszins
m
i
i'
1
1
m
(5) stetige Verzinsung
K
n
K 0e
in
K n K 0
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q
nm
m

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(6) Barwertberechnung
K
0
nq K
n
nm
n m q
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K
0
K
(7) Allgemeine Kapitalendwertberechnung (nachschüssig)
A Jahresbetrag A innerjährlicher Betrag
E
n
K q
0
n
n
q 1
A
q 1
a) innerjährliche Verzinsung mit Zinseszins
E
n
K q
0
nm
m
q
A
q
nm
m
m
1
1
b) innerjährliche einfache Verzinsung
E
n
K q
(8) Allgemeine Kapitalendwertberechnung (vorschüssig)
E
n
K q
0
n
n
q 1
Aq
q 1
(9) Ratentilgung
T
K
n
0
E
n
0
K q
0
n
nm
m
n
m 1
q 1
A m
i
2
q 1
Aq
m
q
q
nm
m
m
1
1
(10) Annuität (Tilgung am Jahresende) (Tilgung am Periodenende)
n
q ( q 1)
A K 0 n
q 1
(11) Rentenbarwert bei nachschüssiger Rentenzahlung
R
n
r
q
n
n
q 1
q 1
nm
qm
( qm
1)
A K 0
bzw.
nm
q 1
m
n
K 0 q ( q 1)
A n m 1
m i
q 1
2
R
n
r
q
nm
m
q
q
nm
m
m
1
1

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(12) Rentenbarwert bei vorschüssiger Rentenzahlung
R
r
q
n n1
n
q 1
q 1
n nm1
qm
(13) Kursberechnung einer gesamtfälligen Schuld
n
100 q'
1
C
1
i
n
q'
q'1
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R
r
q
q
nm
m
m
1
1
(14) Lineare Abschreibung (K0 Anfangswert, Kn Endwert, D Abschreibung)
D
K
0
K
n
n
(15) Geometrisch degressive Abschreibung (g periodischer Abschreibungssatz)
D
n
n
K ( 1
g)
0
K K ( 1 g)
g
0
K
n1
n
g
Abschreibungsbetrag der Periode n
Restwert nach n Perioden
n
1 n
Abschreibungssatz
K
0

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4. Lineare Algebra
Im folgenden Kapitel gelten folgende Namenskonventionen:
A,B,C, … Matrizen
x,y,z, … Vektoren
a,b,c, … Skalare
A’ oder A T
A -1
Transponierte Matrix von A
Inverse Matrix von A
E Einheitsmatrix
4.1. Matrizenoperationen
(A + B)’ = A’ + B’
A B B A
A B = 0 > A = 0 oder B = 0
C = A B cij
a
p1
4.2. Inverse Matrix
A A -1 = A -1 A = E
k
ip
b
pj
für alle i = 1, 2, …, m und j = 1, 2, …, n
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