Die Grundlagen der Arithmetik. Eine logisch mathematische ...

Gottlob Frege – Die Grundlagen der Arithmetik - 22
Abbildung würden die Einheiten nur in Hinsicht ihrer Häufigkeit dargestellt, indem von allen
andern Bestimmungen der Dinge als Farbe, Gestalt abgesehen werde. Hier ist Häufigkeit nur ein
anderer Ausdruck für Anzahl. Schröder stellt also Häufigkeit oder Anzahl in eine Linie mit Farbe
und Gestalt und betrachtet sie als eine Eigenschaft der Dinge.
§ 22. Dagegen Baumann: die äussern Dinge stellen keine strengen Einheiten dar. Die Anzahl hängt
scheinbar von unserer Auffassung ab.
Baumann 35 verwirft den Gedanken, dass die Zahlen von den äussern Dingen abgezogene
Begriffe seien: „Weil nämlich die äussern Dinge uns keine strengen Einheiten darstellen; sie stellen
uns abgegränzte Gruppen oder sinnliche Punkte dar, aber wir haben die Freiheit, diese selber
wieder als Vieles zu betrachten“. In der That, während ich nicht im Staude bin, durch blosse
Auffassungsweise die Farbe eines Dinges oder seine Härte im Geringsten zu verändern, kann ich
die Ilias als Ein Gedicht, als 24 Gesänge oder als eine grosse Anzahl von Versen auffassen. Spricht
man nicht in einem ganz andern Sinne von 1000 Blättern als von grünen Blättern des Baumes? Die
grüne Farbe legen wir jedem Blatte bei, nicht so die Zahl 1000. Wir können alle Blätter des Baumes
unter dem Namen seines Laubes zusammenfassen. Auch dieses ist grün, aber nicht 1000. Wem
kommt nun eigentlich die Eigenschaft 1000 zu? Fast scheint es weder dem einzelnen Blatte noch
der Gesammtheit; vielleicht gar nicht eigentlich den Dingen der Aussenwelt? Wenn ich jemandem
einen Stein gebe mit den Worten: bestimme das Gewicht hiervon, so habe ich ihm damit den
ganzen Gegenstand seiner Untersuchung gegeben. Wenn ich ihm aber einen Pack Spielkarten in
die Hand gebe mit den Worten: bestimme die Anzahl hiervon, so weiss er nicht, ob ich die Zahl
der Karten oder der vollständigen Spiele oder etwa der Wertheinheiten beim Skatspiele erfahren
will. Damit, dass ich ihm den Pack in die Hand gebe, habe ich ihm den Gegenstand seiner
Untersuchung noch nicht vollständig gegeben; ich muss ein Wort: Karte, Spiel, Wertheinheit
hinzufügen. Man kann auch nicht sagen, dass die verschiedenen Zahlen hier so wie die
verschiedenen Farben neben einander bestehen. Auf die einzelne farbige Fläche kann ich
hindeuten, ohne ein Wort zu sagen, nicht so auf die einzelne Zahl. Wenn ich einen Gegenstand
mit demselben Rechte grün und roth nennen kann, so ist das ein Zeichen, dass dieser Gegenstand
nicht der eigentliche Träger des Grünen ist. Diesen habe ich erst in einer Fläche, die nur grün ist.
So ist auch ein Gegenstand, dem ich mit demselben Rechte verschiedene Zahlen zuschreiben
kann, nicht der eigentliche Träger einer Zahl.
Ein wesentlicher Unterschied zwischen Farbe und Anzahl besteht demnach darin, dass die
blaue Farbe einer Fläche unabhängig von unserer Willkühr zukommt. Sie ist ein Vermögen,
gewisse Lichtstrahlen zurückzuwerfen, andere mehr oder weniger zu verschlucken, und daran kann
unsere Auffassung nicht das Geringste ändern. Dagegen kann ich nicht sagen, dass dem Pack
Spielkarten die Anzahl 1 oder 100 oder irgend eine andere an sich zukomme, sondern höchstens in
Bezug auf unsere willkührliche Auffassungsweise, und dann auch nicht so, dass wir ihm die Anzahl
einfach als Praedicat beilegen könnten. Was wir ein vollständiges Spiel nennen wollen, ist offenbar
eine willkührliche Festsetzung und der Pack Spielkarten weiss nichts davon. Indem wir ihn aber in
dieser Einsicht betrachten, entdecken wir vielleicht, dass wir ihn zwei vollständige Spiele nennen
können. Jemand, der nicht wüsste, was man ein vollständiges Spiel nennt, würde wahrscheinlich
irgend eine andere Anzahl eher an ihm herausfinden, als grade die Zwei.
§ 23. Mills Meinung, dass die Zahl eine Eigenschaft des Aggregats von Dingen sei, ist unhaltbar.
Die Frage, wem die Zahl als Eigenschaft zukomme, beantwortet Mill 36 so:
„Der Name einer Zahl bezeichnet eine Eigenschaft, die dem Aggregat von Dingen angehört,
welche wir mit dem Namen benennen; und diese Eigenschaft ist die charakteristische Weise, in
welcher das Aggregat zusammengesetzt ist oder in Theile zerlegt werden kann.“
Hier ist zunächst der bestimmte, Artikel in dem Ausdrucke „die charakteristische Weise“ ein
Fehler; denn es giebt sehr verschiedene Weisen, wie man ein Aggregat zerlegen kann, und man
kann nicht sagen, dass Eine allein charakteristisch wäre. Ein Bündel Stroh kann z. B. so zerlegt
34 Lehrbuch der Arithmetik und Algebra, Leipz. 1873, S. 6, 10 u. 11.
35 A. a. O. Bd. II, S. 669.
36 A. a. O. III. Buch, XXIV. Cap., § 5.