Die Grundlagen der Arithmetik. Eine logisch mathematische ...

Gottlob Frege – Die Grundlagen der Arithmetik - 44
So kann man aus dem Parallelismus von Ebenen einen Begriff erhalten, der dem der
Richtung bei Geraden entspricht. Ich habe dafür den Namen „Stellung“ gelesen. Aus der
geometrischen Aehnlichkeit geht der Begriff der Gestalt hervor, so dass man z. B. statt „die beiden
Dreiecke sind ähnlich“ sagt: „die beiden Dreiecke haben gleiche Gestalt“ oder „die Gestalt des
einen Dreiecks ist gleich der Gestalt des andern“. So kann man auch aus der collinearen
Verwandtschaft geometrischer Gebilde einen Begriff gewinnen, für den ein Name wohl noch fehlt.
§ 65. Versuch einer Definition. Ein zweites Bedenken: ob den Gesetzen der Gleichheit genügt
wird.
Um nun z. B. vom Parallelismus 83 auf den Begriff der Richtung zu kommen, versuchen wir
folgende Definition: der Satz
„die Gerade a ist parallel der Gerade b“
sei gleichbedeutend mit
„die Richtung der Gerade a ist gleich der Richtung der Gerade b“.
Diese Erklärung weicht insofern von dem Gewohnten ab, als sie scheinbar die schon
bekannte Beziehung der Gleichheit bestimmt, während sie in Wahrheit den Ausdruck „die
Richtung der Gerade a“ einführen soll, der nur nebensächlich vorkommt. Daraus entspringt ein
zweites Bedenken, ob wir nicht durch eine solche Festsetzung in Widersprüche mit den bekannten
Gesetzen der Gleichheit verwickelt werden könnten. Welches sind diese? Sie werden als
analytische Wahrheiten aus dem Begriffe selbst entwickelt werden können. Nun definirt Leibniz 84 :
„Eadem sunt, quorum unam potest substitui alteri salva veritate“.
Diese Erklärung eigne ich mir für die Gleichheit an. Ob man wie Leibniz „dasselbe“ sagt oder
„gleich“, ist unerheblich. „Dasselbe“ scheint zwar eine vollkommene Uebereinstimmung, „gleich“
nur eine in dieser oder jener Hinsicht auszudrücken; man kann aber eine solche Redeweise
annehmen, dass dieser Unterschied wegfällt, indem man, z. B. statt „die Strecken, sind in der
Länge gleich“ sagt „die Länge der Strecken ist gleich“ oder „dieselbe“, statt „die Flächen sind in
der Farbe gleich“ „die Farbe der Flächen ist gleich“. Und so haben wir das Wort oben in den
Beispielen gebraucht. In der allgemeinen Ersetzbarkeit sind nun in der That alle Gesetze der
Gleichheit enthalten.
Um unsern Definitionsversuch der Richtung einer Gerade zu rechtfertigen, müssten wir also
zeigen, dass man
die Richtung von a
überall durch
die Richtung von b
ersetzen könne, wenn die Gerade a der Gerade b parallel ist. Dies wird dadurch vereinfacht, dass
man zunächst von der Richtung einer Gerade keine andere Aussage kennt als die
Uebereinstimmung mit der Richtung einer andern Gerade. Wir brauchten also nur die
Ersetzbarkeit in einer solchen Gleichheit nachzuweisen oder in Inhalten, welche solche
Gleichheiten als Bestandtheile 85 enthalten würden. Alle andern Aussagen von Richtungen müssten
erst erklärt werden und für diese Definitionen können wir die Regel aufstellen, dass die
Ersetzbarkeit der Richtung einer Gerade durch die einer ihr parallelen gewahrt bleiben muss.
§ 66. Drittes Bedenken: das Kennzeichen der Gleichheit ist unzureichend.
Aber noch ein drittes Bedenken erhebt sich gegen unsern Definitionsversuch. In dem Satze
„die Richtung von a ist gleich der Richtung von b“
83 Um wich bequemer ausdrücken zu können und leichter verstanden zu werden, spreche ich hier
vom Parallelismus. Das Wesentliche dieser Erörterungen wird leicht auf den Fall der
Zahlengleichheit übertragen werden können.
84 Non inelegans specimen demonstrandi in abstractis. Erdm. S. 94.
85 In einem hypothetischen Urtheile könnte z. B. eine Gleichheit von Richtungen als Bedingung
oder Folge vorkommen.