Die Grundlagen der Arithmetik. Eine logisch mathematische ...

Gottlob Frege – Die Grundlagen der Arithmetik - 36
In Bezug auf Eins und Einheit blieb die Frage, wie die Willkühr der Auffassung zu
beschränken sei, die jeden Unterschied zwischen Einem und Vielen zu verwischen schien.
Die Abgegrenztheit, die Ungetheiltheit, die Unzerlegbarkeit sind keine brauchbaren Merkmale
für das, was wir durch das Wort „Ein“ ausdrücken.
Wenn man die zu zählenden Dinge Einheiten nennt, so ist die unbedingte Behauptung, dass
die Einheiten gleich seien, falsch. Dass sie in gewisser Hinsicht gleich sind, ist zwar richtig aber
werthlos. Die Verschiedenheit der zu zählenden Dinge ist sogar nothwendig, wenn die Zahl
grösser als 1 werden soll.
So schien es, dass wir den Einheiten zwei widersprechende Eigenschaften beilegen müssten:
die Gleichheit und die Unterscheidbarkeit.
Es ist ein Unterschied zwischen Eins und Einheit zu machen. Das Wort „Eins“ ist als
Eigenname eines Gegenstandes der mathematischen Forschung eines Plurals unfähig. Es ist also
sinnlos, Zahlen durch Zusammenfassen von Einsen entstehen zu lassen. Das Pluszeichen in
1+1=2 kann nicht eine solche Zusammenfassung bedeuten.
§ 46. Die Zahlangabe enthält eine Aussage von einem Begriffe. Einwand, dass bei unverändertem
Begriffe die Zahl sich ändere.
Um Licht in die Sache zu bringen, wird es gut sein, die Zahl im Zusammenhange eines
Urtheils zu betrachten, wo ihre ursprüngliche Anwendtingsweise hervortritt. Wenn ich in
Ansehung derselben äussern Erscheinung mit derselben Wahrheit sagen kann: „dies ist eine
Baumgruppe“ und „dies sind fünf Bäume“ oder „hier sind vier Compagnien“ und „hier sind 500
Mann,“ so ändert sich dabei weder das Einzelne noch das Ganze, das Aggregat, sondern meine
Benennung. Das ist aber nur das Zeichen der Ersetzung eines Begriffes durch einen andern. Damit
wird uns als Antwort auf die erste Frage des vorigen Paragraphen nahe gelegt, dass die Zahlangabe
eine Aussage von einem Begriffe enthalte. Am deutlichsten ist dies vielleicht bei der Zahl 0. Wenn
ich sage: „die Venus hat 0 Monde“, so ist gar kein Mond oder Aggregat von Monden da, von dem
etwas ausgesagt werden könnte; aber dem Begriffe „Venusmond“ wird dadurch eine Eigenschaft
beigelegt, nämlich die, nichts unter sich zu befassen. Wenn ich sage: „der Wagen des Kaisers wird
von vier Pferden gezogen“, so lege ich die Zahl vier dem Begriffe „Pferd, das den Wagen des
Kaisers zieht“, bei.
Man mag einwenden, dass ein Begriff wie z. B. „Angehöriger des deutschen Reiches“, obwohl
seine Merkmale unverändert bleiben, eine von Jahr zu Jahr wechselnde Eigenschaft haben würde,
wenn die Zahlangabe eine solche von ihm aussagte. Man kann dagegen geltend machen, dass auch
Gegenstände ihre Eigenschaften ändern, was nicht verhindere, sie als dieselben anzuerkennen.
Hier lässt sich aber der Grund noch genauer angeben. Der Begriff „Angehöriger des deutschen
Reiches“ enthält nämlich die Zeit als veränderlichen Bestandtheil, oder, um mich mathematisch
auszudrücken, ist eine Function der Zeit. Für „a ist ein Angehöriger des deutschen Reiches“ kann
man sagen: „a gehört dem deutschen Reiche an“ und dies bezieht sich auf den gerade
gegenwärtigen Zeitpunkt. So ist also in dem Begriffe selbst schon etwas Fliessendes. Dagegen
kommt dem Begriffe „Angehöriger des deutschen Reiches zu Jahresanfang 1883 berliner Zeit“ in
alle Ewigkeit dieselbe Zahl zu.
§ 47. Die Thatsächlichkeit der Zahlangabe erklärt sich aus der Objectivität des Begriffes.
Dass eine Zahlangabe etwas Thatsächliches von unserer Auffassung Unabhängiges ausdrückt,
kann nur den Wunder nehmen, welcher den Begriff für etwas Subjectives gleich der Vorstellung hält.
Aber diese Ansicht ist falsch. Wenn wir z. B. den Begriff des Körpers dem des Schweren oder den
des Wallfisches dem des Säugethiers unterordnen, so behaupten wir damit etwas Objectives. Wenn
nun die Begriffe subjectiv wären, so wäre auch die Unterordnung des einen unter den andern als
Beziehung zwischen ihnen etwas Subjectives wie eine Beziehung zwischen Vorstellungen. Freilich
auf den ersten Blick scheint der Satz
„alle Wallfische sind Säugethiere“
von Thieren, nicht von Begriffen zu handeln ; aber, wenn man fragt, von welchem Thiere denn die
Rede sei, so kann man kein einziges aufweisen. Gesetzt, es liege ein Wallfisch vor, so behauptet
doch von diesem unser Satz nichts. Man könnte aus ihm nicht schliessen, das vorliegende Thier sei