Die Grundlagen der Arithmetik. Eine logisch mathematische ...

Gottlob Frege – Die Grundlagen der Arithmetik - 50
„a fällt unter den Begriff F“
die allgemeine Form eines beurtbeilbaren Inhalts ist, der von einem Gegenstande a handelt und
der beurtheilbar bleibt, was man auch für a setze. Und in diesem Sinne ist
„a fällt unter den Begriff „„sich selbst ungleich“““ gleichbedeutend mit
„a ist sich selbst ungleich“
oder
„a ist nicht gleich a“.
Ich hätte zur Definition der 0 jeden andern Begriff nehmen können, unter den nichts fällt. Es
kam mir aber darauf an, einen solchen zu wählen, von dem dies rein logisch bewiesen werden
kann; und dazu bietet sich am bequemsten „sich selbst ungleich“ dar, wobei ich für „gleich“ die
vorhin angeführte Erklärung Leibnizens gelten lasse, die rein logisch ist.
§ 75. Null ist die Anzahl, welche einem Begriffe zukommt, unter den nichts fällt. Kein Gegenstand
fällt unter einen Begriff, wenn Null die diesem zukommende Anzahl ist.
Es muss sich nun mittels der früheren Festsetzungen beweisen lassen, dass jeder Begriff,
unter den nichts fällt, gleichzahlig mit jedem Begriffe ist, unter den nichts fällt, und nur mit einem
solchen, woraus folgt, dass 0 die Anzahl ist, welche einem solchen Begriffe zukommt, und dass
kein Gegenstand unter einen Begriff fällt, wenn die Zahl, welche diesem zukommt, die 0 ist.
Nehmen wir an, weder unter den Begriff F noch unter den Begriff G falle ein Gegenstand, so
haben wir, um die Gleichzahligkeit zu beweisen, eine Beziehung φ nöthig, von der die Sätze gelten:
jeder Gegenstand, der unter F fällt, steht in der Beziehung φ zu einem Gegenstande, der
unter G fällt; zu jedem Gegenstande, der unter G fällt, steht ein unter F fallender in der
Beziehung φ.
Nach dem, was früher über die Bedeutung dieser Ausdrücke gesagt ist, erfüllt bei unsern
Voraussetzungen jede Beziehung diese Bedingungen, also auch die Gleichheit, die obendrein
beiderseits eindeutig ist; denn es gelten die beiden oben dafür verlangten Sätze.
Wenn dagegen unter G ein Gegenstand fällt z. B. a, während unter F keiner fällt, so bestehen
die beiden Sätze
„a fällt unter G“
und
„kein unter F fallender Gegenstand steht zu a in der Beziehung φ“
mit einander für jede Beziehung φ; denn der erste ist nach der ersten Voraussetzung richtig und der
zweite nach der zweiten. Wenn es nämlich keinen unter F fallenden Gegenstand giebt, so giebt es
auch keinen solchen, der in irgendeiner Beziehung zu a stände. Es giebt also keine Beziehung,
welche nach unserer Erklärung die unter F den unter G fallenden Gegenständen zuordnete, und
demnach sind die Begriffe F und G ungleichzahlig.
§ 76. Erklärung des Ausdrucks „n folgt in der natürlichen Zahlenreihe unmittelbar auf m.“
Ich will nun die Beziehung erklären, in der je zwei benachbarte Glieder der natürlichen
Zahlenreihe zu einander stehen. Der Satz:
„es giebt einen Begriff F und einen unter ihn fallenden Gegenstand x der Art, dass die
Anzahl, welche dem Begriffe F zukommt, n ist, und dass die Anzahl, welche dem Begriffe
„„unter F fallend aber nicht gleich x““ zukommt, m ist“
sei gleichbedeutend mit
„n folgt in der natürlichen Zahlenreihe unmittelbar auf m.“
Ich vermeide den Ausdruck „n ist die auf m nächstfolgende Anzahl,“ weil zur Rechtfertigung
des bestimmten Artikels erst zwei Sätze bewiesen werden müssten 91 . Aus demselben Grunde sage
ich hier noch nicht „n=m+1“; denn auch durch das Gleichheitszeichen wird (m+1) als
Gegenstand bezeichnet.
§ 77. 1 ist die Anzahl, welche dem Begriffe „gleich 0“ zukommt.
91 Siehe Anm. auf S. 87 u. 88. (Hier vorige Anmerkung.)