Die Grundlagen der Arithmetik. Eine logisch mathematische ...

Gottlob Frege – Die Grundlagen der Arithmetik - 30
absieht, durch welche sich die Dinge unterscheiden“, so bleibt nicht, wie Lipschitz meint, „der
Begriff der Anzahl der betrachteten Dinge“ zurück, sondern man erhält einen allgemeinen Begriff,
unter den jene Dinge fallen. Diese selbst verlieren dadurch nichts von ihren Besonderheiten. Wenn
ich z. B. bei der Betrachtung einer weissen und einer schwarzen Katze von den Eigenschaften
absehe, durch die sie sich unterscheiden, so erhalte ich etwa den Begriff „Katze“. Wenn ich nun
auch beide unter diesen Begriff bringe und sie etwa Einheiten nenne, so bleibt die weisse doch
immer weiss und die schwarze schwarz. Auch dadurch, dass ich an die Farben nicht denke oder
mir vornehme, keine Schlüsse ans deren Verschiedenheit zu ziehen, werden die Katzen nicht
farblos und bleiben ebenso verschieden, wie sie waren. Der Begriff „Katze“ der durch die
Abstraction gewonnen ist, enthält zwar die Besonderheiten, nicht mehr, ist aber eben dadurch nur
Einer.
§ 35. Die Verschiedenheit ist sogar nothwendig, wenn von Mehrheit die Rede sein soll. Descartes.
B. Schröder. St. Jevons.
Durch blos begriffliche Verfahrungsweisen gelingt es nicht, verschiedene Dinge gleich zu
machen; gelänge es aber, so hätte man nicht mehr Dinge, sondern nur Ein Ding; denn, wie
Descartes 61 sagt, die Zahl - besser: die Mehrzahl - in den Dingen entspringt aus deren
Unterscheidung. B. Schröder 62 behauptet mit Recht: „Die Anforderung Dinge zu zählen kann
vernünftiger Weise nur gestellt werden, wo solche Gegenstände vorliegen, welche deutlich von
einander unterscheidbar z. B. räumlich und zeitlich getrennt und gegen einander abgegrenzt
erscheinen.“ In der That, erschwert zuweilen die zu grosse Aehnlichkeit z. B. der Stäbe eines
Gitters die Zählung. Mit besonderer Schärfe drückt sich W. Stanley Jevons 63 in diesem Sinne aus:
„Zahl ist nur ein andrer Name für Verschiedenheit. Genaue Identität ist Einheit, und mit
Verschiedenheit entsteht Mehrheit. Und weiter (S. 157): „Es ist oft gesagt, dass Einheiten
Einheiten sind, insofern sie einander vollkommen gleichen; aber, obwohl sie in einigen
Rücksichten vollkommen gleich sein mögen, müssen sie mindestens in Einem Punkte verschieden
sein; sonst wäre der Begriff der Mehrheit auf sie unanwendbar. Wenn drei Münzen, so gleich
wären, dass sie denselben Raum zu derselben Zeit einnähmen, so wären sie nicht drei Münzen,
sondern Eine Münze.“
§ 36. Die Ansicht von der Verbehiedenheit der Einheiten stösst auch auf Schwierigkeiten.
Verschiedene Einsen bei St. Jevons.
Aber es zeigt sich bald, dass die Ansicht von der Verschiedenheit der Einheiten auf neue
Schwierigkeiten stösst. Jevons erklärt. „Eine Einheit (unit) ist irgendein Gegenstand des Denkens,
der von irgendeinem andern Gegenstande unterschieden werden kann, der als Einheit in derselben
Aufgabe behandelt wird.“ Hier ist Einheit durch sich selbst erklärt und der Zusatz „der von
irgendeinem andern Gegenstande unterschieden werden kann“ enthält keine nähere Bestimmung,
weil er selbstverständlich ist. Wir nennen den Gegenstand eben nur darum einen andern, weil wir
ihn vom ersten unterscheiden können. Jevons 64 sagt ferner: "Wenn ich das Symbol 5 schreibe,
meine ich eigentlich
1+1+1+1+1
und es ist vollkommen klar, dass jede dieser Einheiten von jeder andern verschieden ist. Wenn
erforderlich, kann ich sie so bezeichnen:
1+1’+1’’+1’’’+1’’’’+1’’’’’.“
Gewiss ist es erforderlich, sie verschieden zu bezeichnen, wenn sie verschieden sind; sonst würde
ja die grösste Verwirrung entstehen. Wenn schon die verschiedene Stelle, an der die Eins
erschiene, eine Verschiedenheit bedeuten sollte, so müsste das als ausnahmslose Regel hingestellt
werden, weil man sonst nie wüsste, ob 1+1 2 bedeuten solle oder 1. Dann müsste man die
Gleichung 1=1 verwerfen und wäre in der Verlegenheit, nie dasselbe Ding zum zweiten Male
bezeichnen zu können. Das geht offenbar nicht an. Wenn man aber verschiedenen Dingen
61 Baumann a. a. O. Bd. I. S. 103.
62 A. a. O. S. 3.
63 The principles of Science, 2d Ed. S. 156.
64 A. a. O. S. 162.