Die Grundlagen der Arithmetik. Eine logisch mathematische ...

Gottlob Frege – Die Grundlagen der Arithmetik - 42
Wir werden durch das Denken gar oft über das Vorstellbare hinausgeführt, ohne damit die
Unterlage für unsere Schlüsse zu verlieren. Wenn auch, wie es scheint, uns Menschen Denken
ohne Vorstellungen unmöglich ist, so kann doch deren Zusammenhang mit dem Gedachten ganz
äusserlich, willkührlich und conventionell sein.
Es ist also die Unvorstellbarkeit des Inhaltes eines Wortes kein Grund, ihm jede Bedeutung
abzusprechen oder es vom Gebrauche auszuschliessen. Der Schein des Gegentheils entsteht wohl
dadurch, dass wir die Wörter vereinzelt betrachten und nach ihrer Bedeutung fragen, für welche
wir dann eine Vorstellung nehmen. So scheint ein Wort keinen Inhalt zu haben, für welches uns
ein entsprechendes inneres Bild fehlt. Man muss aber immer einen vollständigen Satz ins Auge
fassen. Nur in ihm haben die Wörter eigentlich eine Bedeutung. Die innern Bilder, die uns dabei
etwa vorschweben, brauchen nicht den logischen Bestandtheilen des Urtheils zu entsprechen. Es
genügt, wenn der Satz als Ganzes einen Sinn hat; dadurch erhalten auch seine Theile ihren Inhalt.
Diese Bemerkung scheint mir geeignet, auf manche schwierige Begriffe wie den des
Unendlichkleinen 79 ein Licht zu werfen, und ihre Tragweite beschränkt sich wohl nicht auf die
Mathematik.
Die Selbständigkeit, die ich für die Zahl in Anspruch nehme, soll nicht bedeuten, dass ein
Zahlwort ausser dem Zusammenhange eines Satzes etwas bezeichne, sondern ich will damit nur
dessen Gebrauch als Praedicat oder Attribut ausschliessen, wodurch seine Bedeutung etwas
verändert wird.
§ 61. Einwand der Unräumlichkeit der Zahlen. Nicht jeder objective Gegenstand ist räumlich.
Aber, wendet man vielleicht ein, mag auch die Erde eigentlich unvorstellbar sein, so ist sie
doch ein äusseres Ding, das einen bestimmten Ort hat; aber wo ist die Zahl 4? sie ist weder ausser
uns noch in uns. Das ist in räumlichem Sinne verstanden richtig. Eine Ortsbestimmung der Zahl 4
hat keinen Sinn; aber daraus folgt nur, dass sie kein räumlicher Gegenstand ist, nicht, dass sie
überhaupt keiner ist. Nicht jeder Gegenstand ist irgendwo. Auch unsere Vorstellungen 80 sind in
diesem Sinne nicht in uns (subcutan). Da sind Ganglienzellen, Blutkörperchen und dergl., aber
keine Vorstellungen. Räumliche Praedicate sind auf sie nicht anwendbar; die eine ist weder rechts
noch links von der andern; Vorstellungen haben keine in Millimetern angebbaren Entfernungen
von einander. Wenn wir sie dennoch in uns nennen, so wollen wir sie damit als subjectiv
bezeichnen.
Aber wenn auch das Subjective keinen Ort hat, wie ist es möglich, dass die objective Zahl 4
nirgendwo sei? Nun ich behaupte, dass darin gar kein Widerspruch liegt. Sie ist in der That genau
dieselbe für jeden, der sich mit ihr beschäftigt; aber dies hat mit Räumlichkeit nichts zu schaffen.
Nicht jeder objective Gegenstand hat einen Ort.
Um den Begriff der Anzahl zu gewinnen, muss man den Sinn einer Zahlengleichung feststellen.
§ 62. Wir bedürfen eines Kennzeichens für die Zahlengleichheit.
Wie soll uns denn eine Zahl gegeben sein, wenn wir keine Vorstellung oder Anschauung von
ihr haben können? Nur im Zusammenhange eines Satzes bedeuten die Wörter etwas. Es wird also
darauf ankommen, den Sinn eines Satzes zu erklären, in dem ein Zahlwort vorkommt. Das giebt
zunächst noch viel der Willkühr anheim. Aber wir haben schon festgestellt, dass unter den
Zahlwörtern selbständige Gegenstände zu verstehen sind. Damit ist uns eine Gattung von Sätzen
gegeben, die einen Sinn haben müssen, der Sätze, welche ein Wiedererkennen ausdrücken. Wenn
uns das Zeichen a einen Gegenstand bezeichnen soll, so müssen wir ein Kennzeichen haben,
welches überall entscheidet, ob b dasselbe sei wie a, wenn es auch nicht immer in unserer Macht
steht, dies Kennzeichen anzuwenden. In unserm Falle müssen wir den Sinn des Satzes
„die Zahl, welche dem Begriffe F zukommt, ist dieselbe, welche dem Begriffe G zukommt“
79 Es kommt darauf an, den Sinn einer Gleichung wie
d f (x) = g (x) dx
zu definiren, nicht aber darauf, eine von zwei verschiedenen Punkten begrenzte Strecke
aufzuweisen, deren Länge dx wäre.
80 Dies Wort rein psychologisch, nicht psychophysisch verstanden.