Die Grundlagen der Arithmetik. Eine logisch mathematische ...

Gottlob Frege – Die Grundlagen der Arithmetik - 46
nennen, wenn diese Möglichkeit vorliegt, muss aber bitten, dies Wort als eine willkührlich gewählte
Bezeichnungsweise zu betrachten, deren Bedeutung nicht der sprachlichen Zusammensetzung,
sondern dieser Festsetzung zu entnehmen ist.
Ich definire demnach:
die Anzahl, welche dem Begriffe F zukommt, ist der Umfang 87 des Begriffes
„gleichzahlig dem Begriffe F“
§ 69. Erläuterung.
Dass diese Erklärung zutreffe, wird zunächst vielleicht wenig einleuchten. Denkt man sich
unter dem Umfange eines Begriffes nicht etwas Anderes? Was man sich darunter denkt, erhellt aus
den ursprünglichen Aussagen, die von Begriffsumfängen gemacht werden können. Es sind
folgende:
1. die Gleichheit,
2. dass der eine umfassender als der andere sei.
Nun ist der Satz:
der Umfang des Begriffes „gleichzahlig dem Begriffe P“ ist gleich dem Umfange des
Begriffes „gleichzahlig dem Begriffe G“
immer dann und nur dann wahr, wenn auch der Satz
„dem Begriffe F kommt dieselbe Zahl wie dem Begriffe G zu“
wahr ist. Hier ist also voller Einklang.
Man sagt zwar nicht, dass eine Zahl umfassender als eine andere sei in dem Sinne, wie der
Umfang eines Begriffes umfassender als der eines andern ist; aber der Fall, dass
der Umfang des Begriffes „gleichzahlig dem Begriffe F“
umfassender sei als
der Umfang des Begriffes „gleichzahlig dem Begriffe G“
kann auch gar nicht vorkommen; sondern, wenn alle Begriffe, die dem G gleichzahlig sind, auch
dem F gleichzahlig sind, so sind auch umgekehrt alle Begriffe, die dem F gleichzahlig sind, dem G
gleichzahlig. Dies „umfassender“ darf natürlich nicht mit dem „grösser“ verwechselt werden, dass
bei Zahlen vorkommt.
Freilich ist noch der Fall denkbar, dass der Umfang des Begriffes „gleichzahlig dem Begriffe
F“ umfassender oder weniger umfassend wäre als ein anderer Begriffsumfang, der dann nach
unserer Erklärung keine Anzahl sein könnte; und es ist nicht üblich, eine Anzahl umfassender oder
weniger umfassend als den Umfang eines Begriffes zu nennen; aber es steht auch nichts im Wege,
eine solche Redeweise anzunehmen, falls solches einmal vorkommen sollte.
Ergänzung und Bewährung unserer Definition.
§ 70. Der Beziehungsbegriff.
Definitionen bewähren sich durch ihre Fruchtbarkeit. Solche, die ebensogut wegbleiben
könnten, ohne eine Lücke in der Beweisführung zu öffnen, sind als völlig werthlos zu verwerfen.
Versuchen wir also, ob sich bekannte Eigenschaften der Zahlen aus unserer Erklärung der
Anzahl, welche dem Begriffe F zukommt, ableiten lassen! Wir werden aus hier mit den einfachsten
begnügen.
87 Ich glaube, dass für „Umfang des Begriffes“ einfach „Begriff“ gesagt werden könnte. Aber man
würde zweierlei einwenden:
1. dies stehe im Widerspruche mit meiner früheren Behauptung dass die einzelne Zahl ein
Gegenstand sei, was durch den bestimmten Artikel in Ausdrücken wie „die Zwei“ und durch die
Unmöglichkeit angedeutet werde, von Einsen, Zweien u. s. w. im Plural zu sprechen, sowie
dadurch, dass die Zahl nur einen Theil des Praedicats der Zahlangabe ausmache;
2. dass Begriffe von gleichem Umfange sein können, ohne zusammenzufallen.
Ich bin nun zwar der Meinung, dass beide Einwände gehoben werden können; aber das möchte
hier zu weit führen, Ich setze voraus, dass man wisse, was der Umfang eines Begriffes sei.