Die Grundlagen der Arithmetik. Eine logisch mathematische ...

Gottlob Frege – Die Grundlagen der Arithmetik - 24
§ 25. Mills physikalischer Unterschied zwischen 2 und 3. Nach Berkeley ist die Zahl nicht realiter
in den Dingen, sondern durch den Geist geschaffen.
Während für Mill die Zahl etwas Physikalisches ist, besteht sie für Locke und Leibniz nur in
der Idee. In der That sind, wie Mill 41 sagt, zwei Aepfel von drei Aepfeln, zwei Pferde von einem
Pferd physikalisch verschieden, ein davon verschiedenes sichtliches und fühlbares Phänomen 42 .
Aber ist daraus zu schliessen, dass die Zweiheit, Dreiheit, etwas Physikalisches ist? Ein Paar Stiefel
kann dieselbe sichtbare und fühlbare Erscheinung sein, wie zwei Stiefel. Hier haben wir einen
Zahlenunterschied, dem kein physikalischer entspricht; denn zwei und Ein Paar sind keineswegs
dasselbe, wie Mill sonderbarer Weise zu glauben scheint. Wie ist es endlich möglich, dass sich zwei
Begriffe von drei Begriffen physikalisch unterscheiden?
So sagt Berkeley 43 : „Es ist zu bemerken, dass die Zahl nichts Fixes und Festgestelltes ist, was
realiter in den Dingen selber existirte. Sie ist gänzlich Geschöpf des Geistes, wenn er entweder eine
Idee an sich oder eine Combination von Ideen betrachtet, der er einen Namen geben will und sie
so für eine Einheit gelten lässt. Jenachdem der Geist seine Ideen variirend combinirt, variirt die
Einheit, und wie die Einheit so variirt auch die Zahl, welche nur eine Sammlung von Einheiten ist.
Ein Fenster = 1; ein Haus, in dem viele Fenster sind, = 1; viele Häuser machen Eine Stadt aus.“
Ist die Zahl etwas Subjectives ?
§ 26. Lipschitzs Beschreibung der Zahlbildung passt nicht recht und kann eine
Begriffsbestimmung nicht ersetzen. Die Zahl ist kein Gegenstand der Psychologie, sondern etwas
Objectives.
In diesem Gedankengange kommt man leicht dazu, die Zahl für etwas Subjectives anzusehen.
Es scheint die Weise, wie die Zahl in uns entsteht, über ihr Wesen Aufschluss geben zu können.
Auf eine psychologische Untersuchung also würde es dann ankommen. In diesem Sinne sagt wohl
Lipschitz 44 :
„Wer über gewisse Dinge einen Ueberblick gewinnen will, der wird mit einem bestimmten
Dinge beginnen und immer ein neues Ding den früheren hinzufügen“. Dies scheint viel besser
darauf zu passen, wie wir etwa die Anschauung eines Sternbildes erhalten, als auf die Zahlbildung.
Die Absicht, einen Ueberblick zu gewinnen, ist unwesentlich; denn man wird kaum sagen können,
dass eine Herde übersichtlicher wird, wenn man erfährt, aus wieviel Häuptern sie besteht.
Eine solche Beschreibung der innern Vorgänge, die der Fällung eines Zahlurtheils
vorhergehen, kann nie, auch wenn sie zutreffender ist, eine eigentliche Begriffsbestimmung
ersetzen. Sie wird nie zum Beweise eines arithmetischen Satzes herangezogen werden können; wir
erfahren durch sie keine Eigenschaft der Zahlen. Denn die Zahl ist so wenig ein Gegenstand der
Psychologie oder ein Ergebniss psychischer Vorgänge, wie es etwa die Nordsee ist. Der
Objectivität der Nordsee thut es keinen Eintrag, dass es von unserer Willkühr abhangt, welchen
Theil der allgemeinen Wasserbedeckung der Erde wir abgrenzen und mit dem Namen „Nordsee“
belegen wollen. Das ist kein Grund, dies Meer auf psychologischem Wege erforschen zu wollen.
So ist auch die Zahl etwas Objectives. Wenn man sagt „die Nordsee ist 10,000 Quadratmeilen
gross“, so deutet man weder durch „Nordsee“ noch durch „10,000“ auf einen Zustand oder
Vorgang in seinem Innern hin, sondern man behauptet etwas ganz Objectives, was von unsern
Vorstellungen und dgl. unabhängig ist. Wenn wir etwa ein ander Mal die Grenzen der Nordsee
etwas anders ziehen oder unter „10,000“ etwas Anderes verstehen wollten, so würde nicht derselbe
Inhalt falsch, der vorher richtig war; sondern an die Stelle eines wahren Inhalts wäre vielleicht ein
falscher geschoben, wodurch die Wahrheit jenes ersteren in keiner Weise aufgehoben würde.
41 A. a. O. III. Buch, XXIV. Cap. § 5.
42 Genau genommen müsste hinzugefügt werden: sobald sie überhaupt ein Phänomen sind. Wenn
aber Jemand ein Pferd in Deutschland und eines in Amerika (und sonst keins) hat, so besitzt er
zwei Pferde. Diese bilden jedoch kein Phänomen, sondern nur jedes Pferd für sich könnte so
genannt werden.
43 Baumann a. a. O. Bd. II. S. 428.
44 Lehrbuch der Analysis, S. 1. Ich nehme an, dass Lipschitz einen innern Vorgang im Sinne hat.