Die Grundlagen der Arithmetik. Eine logisch mathematische ...

Gottlob Frege – Die Grundlagen der Arithmetik - 48
und
„a steht zu keinem unter G fallenden Gegenstande in der Beziehung φ“
können nicht mit einander bestehen, was auch a bezeichne, sodass entweder der erste oder der
zweite oder beide falsch sind. Hieraus geht hervor, dass „jeder Gegenstand, der unter F fällt, in der
Beziehung φ zu einem unter G fallenden Gegenstande steht“, wenn es keinen unter F fallenden
Gegenstand giebt, weil dann der erste Satz
„a fällt unter F“
immer zu verneinen ist, was auch a sein mag. Ebenso bedeutet
„zu jedem Gegenstande, der unter G fällt, steht ein unter F fallender in der Beziehung φ“,
dass die beiden Sätze
„a fällt unter G“
und
„kein unter F fallender Gegenstand steht zu a in der Beziehung φ“
nicht mit einander bestehen können, was auch a sein möge.
§ 72. Die beiderseits eindeutige Beziehung. Begriff der Anzahl.
Wir haben nun gesehen, wann die unter die Begriffe F und G fallenden Gegenstände
einander durch die Beziehung φ zugeordnet sind. Hier soll nun diese Zuordnung eine beiderseits
eindeutige sein. Darunter verstehe ich, dass folgende beiden Sätze gelten:
1. wenn d in der Beziehung φ zu a steht, und wenn d in der Beziehung φ zu e steht, so ist
allgemein, was auch d, a und e sein mögen, a dasselbe wie e;
2. wenn d in der Beziehung φ zu a steht, und wenn b in der Beziehung φ zu a steht, so ist
allgemein, was auch d, b und a sein mögen, d dasselbe wie b.
Hiermit haben wir die beiderseits eindeutige Zuordnung auf rein logische Verhältnisse
zurückgeführt und können nun so definiren:
der Ausdruck
„der Begriff F ist gleichzahlig dem Begriffe G“
sei gleichbedeutend mit dem Ausdrucke
„es giebt eine Beziehung φ, welche die unter den Begriff F fallenden Gegenstände den
unter G fallenden Gegenständen beiderseits eindeutig zuordnet“.
Ich wiederhole:
die Anzahl, welche dem Begriffe F zukommt, ist der Umfang des Begriffes „gleichzahlig
dem Begriffe F“
und füge hinzu:
der Ausdruck
„n ist eine Anzahl“
sei gleichbedeutend mit dem Ausdrucke
„es giebt einen Begriff der Art, dass n die Anzahl ist, welche ihm zukommt“.
So ist der Begriff der Anzahl erklärt, scheinbar freilich durch sich selbst, aber dennoch ohne
Fehler, weil „die Anzahl, welche dem Begriffe F zukommt“ schon erklärt ist.
§ 73. Die Anzahl, welche dem Begriffe F zukommt, ist gleich der Anzahl, welche dem Begriffe G
zukommt, wenn es eine Beziehung giebt, welche die unter F fallenden Gegenstände, den unter G
fallenden beiderseits eindeutig zuordnet.
Wir wollen nun zunächst zeigen, dass die Anzahl, welche dem Begriffe F zukommt, gleich der
Anzahl ist, welche dem Begriffe G zukommt, wenn der Begriff F dem Begriffe G gleichzahlig ist.
Dies klingt freilich wie eine Tautologie, ist es aber nicht, da die Bedeutung des Wortes
„gleichzahlig“ nicht aus der Zusammensetzung, sondern aus der eben gegebenen Erklärung
hervorgeht.
Nach unserer Definition ist zu zeigen, dass der Umfang des Begriffes „gleichzahlig dem
Begriffe F“ derselbe ist wie der Umfang des Begriffes „gleichzahlig dem Begriffe G“, wenn der
Begriff F gleichzahlig dem Begriffe G ist. Mit andern Worten: es muss bewiesen werden, dass
unter dieser Voraussetzung die Sätze allgemein gelten: