Die Grundlagen der Arithmetik. Eine logisch mathematische ...

Gottlob Frege – Die Grundlagen der Arithmetik - 40
Nachdem wir erkannt haben, dass die Zahlangabe eine Aussage von einem Begriffe enthält,
können wir versuchen, die leibnizischen Definitionen der einzelnen Zahlen durch die der 0 und
der 1 zu ergänzen.
Es liegt nahe zu erklären: einem Begriffe kommt die Zahl 0 zu, wenn kein Gegenstand unter
ihn fällt. Aber hier scheint an die Stelle der 0 das gleichbedeutende „kein“ getreten zu sein; deshalb
ist folgender Wortlaut vorzuziehen: einem Begriffe kommt die Zahl 0 zu, wenn allgemein, was
auch a sei, der Satz gilt, dass a nicht unter diesen Begriff falle.
In ähnlicher Weise könnte man sagen: einem Begriffe F kommt die Zahl 1 zu, wenn nicht
allgemein, was auch a sei, der Satz gilt, dass a nicht unter F falle, und wenn aus den Sätzen
„a fällt unter F“ und „b fällt unter F“
allgemein folgt, dass a und b dasselbe sind.
Es bleibt noch übrig, den Uebergang von einer Zahl zur nächstfolgenden allgemein zu
erklären. Wir versuchen folgenden Wortlaut: dem Begriffe F kommt die Zahl (n+1) zu, wenn es
einen Gegenstand a giebt, der unter F fällt und so beschaffen ist, dass dem Begriffe „unter F
fallend, aber nicht a“ die Zahl n zukommt.
§ 56. Die versuchten Definitionen sind unbrauchbar, weil sie eine Aussage erklären, von der die
Zahl nur ein Theil ist.
Diese Erklärungen bieten sich nach unsern bisherigen Ergebnissen so ungezwungen dar, dass
es einer Darlegung bedarf, warum sie uns nicht genügen können.
Am ehesten wird die letzte Definition Bedenken erregen; denn genau genommen ist uns der
Sinn des Ausdruckes „dem Begriffe G kommt die Zahl n zu“ ebenso unbekannt wie der des
Ausdruckes „dem Begriffe F kommt die Zahl (n + 1) zu.“ Zwar können wir mittels dieser und der
vorletzten Erklärung sagen, was es bedeute
„dem Begriffe F kommt die Zahl 1 + 1 zu“,
und dann, indem wir dies benutzen, den Sinn des Ausdruckes
„dem Begriffe F kommt die Zahl 1 + 1 + 1 zu"
angeben u. s. w.; aber wir können - um ein krasses Beispiel zu geben - durch unsere Definitionen
nie entscheiden, ob einem Begriffe die Zahl Julius Caesar zukomme, ob dieser bekannte Eroberer
Galliens eine Zahl ist oder nicht. Wir können ferner mit Hilfe unserer Erklärungsversuche nicht
beweisen, dass a = b sein muss, wenn dem Begriffe F die Zahl a zukommt, und wenn demselben
die Zahl b zukommt. Der Ausdruck „die Zahl, welche dem Begriffe F zukommt“ wäre also nicht
zu rechtfertigen und dadurch würde es überhaupt unmöglich, eine Zahlengleichheit zu beweisen,
weil wir gar nicht eine bestimmte Zahl fassen könnten. Es ist nur Schein, dass wir die 0, die 1
erklärt haben; in Wahrheit haben wir nur den Sinn der Redensarten
„die Zahl 0 kommt zu“
„die Zahl 1 kommt zu“
festgestellt; aber es nicht erlaubt, hierin die 0, die 1 als selbständige, wiedererkennbare
Gegenstände zu unterscheiden.
§ 57. Die Zahlangabe ist als eine Gleichung zwischen Zahlen anzusehen.
Es ist hier der Ort, unsern Ausdruck, dass die Zahlangabe eine Aussage von einem Begriffe
enthalte, etwas genauer ins Auge zu fassen. In dem Satze „dem Begriffe F kommt die Zahl 0 zu“
ist 0 nur ein Theil des Praedicates, wenn wir als sachliches Subject den Begriff F betrachten.
Deshalb habe ich es vermieden, eine Zahl wie 0, 1, 2 Eigenschaft eines Begriffes zu nennen. Die
einzelne Zahl erscheint eben dadurch, dass sie nur einen Theil der Aussage bildet, als selbständiger
Gegenstand. Ich habe schon oben darauf aufmerksam gemacht, dass man „die 1“ sagt und durch
den bestimmten Artikel 1 als Gegenstand hinstellt. Diese Selbständigkeit zeigt sich überall in der
Arithmetik, z. B. in der Gleichung 1 + 1 = 2. Da es uns hier darauf ankommt, den Zahlbegriff so
zu fassen, wie er für die Wissenschaft brauchbar ist, so darf es uns nicht stören, dass im
Sprachgebrauche des Lebens die Zahl auch attributiv erscheint. Dies lässt sich immer vermeiden.
Z. B. kann man den Satz „Jupiter hat vier Monde“ umsetzen in „die Zahl der Jupitersmonde ist
vier“. Hier darf das „ist“ nicht als blosse Copula betrachtet werden, wie in dem Satze, „der
Himmel ist blau“. Das zeigt sich darin, dass man sagen kann: „die Zahl der Jupitersmonde ist die