Zufall - Prof. Dr. Horst Völz

Wahrscheinlichkeits-, statistische Maße
Es gibt n Ereignisse als Zahlenwerte x i ∈ A mit den Wahrscheinlichkeiten P(x i )
1. Mittelwerte
Erwartungswert (EX) = Median (m) = Zentralwert = Mittelwert = gewogenes arithmetisches Mittel:
x =
n
∑
i=
1
n
P( x i
) ⋅ x i
gleichwahrscheinlich
1
x = ⋅∑
n
Geometrisches u. harmonisches Mittel meist nur gleichwahrscheinlich üblich
o
x
n
∏
= n x bzw.
x =
Quantil Q P der Ordnung p; p =0,5 → Median
P(x i < Q p ) ≤p bzw. P(x i > Q p ) ≤ 1-p
Modalwert (Modus)ist der häufigste Wert.
2. Streumaße
Variationsbreite = Spannweite δ = x max - x min
Durchschnittliche Abweichung = zentrales Moment 1. Ordnung
n
1
d = ⋅∑
x i
− x
n i=
1
Die Varianz (D 2 X) = Streuung s = Dispersion
n
2
1
s =∑(
xi−
x)
⋅ P(
xi
) für gleichwahrscheinlich s = ⋅
i=
1
n −1
sie kann auch fortlaufend (gleichwahrscheinlich) bestimmt werden
n
n
2
2 ⎛ ⎞
⎡ n
s = ∑ xi
⋅ P( xi
) −⎜∑
xi
⋅ P(
xi
) ⎟ oder
1
s ⋅⎢
x
i=
1
⎝ i=
1 ⎠ n −1
⎢ i 1
⎣
Daraus folgt die Standardabweichung σ = √s als Quadratwurzel aus der Varianz
3. Momente höherer Ordnung
µ
k
Speziell folgen daraus Schiefe bzw. Exzeß
n
=∑
i=
1
i=
1
i
≈
n
∑
i=
1
n
1
x
i
x i
i=
1
n
∑
i=
1
.
( x i
− x)
⎛
− ⋅⎜
n ⎝
n
2 1
i
x i
= i=
1
= ∑ ∑
k
( x − x) für k = 2,3, 4,
i
µ µ
3
γ = bzw. ε = 4
− 3
3
4
σ σ
Weitere Verteilungen
2
2
⎞
⎟
⎠
⎤
⎥
⎥⎦
Zufall.doc H. Völz angelegt am 03.03.08, aktuell 28.12.2009 Seite 16 von 41