Zufall - Prof. Dr. Horst Völz

BENOIT B. MANDELBROT (*1924) führt zusätzliche Konstante r 0 zum kanonischen Gesetz ein
L
r
0
= L −1
L berücksichtigt den maximalen Rang R und bewirkt eine Korrektur für die kleinen Ränge
p
−1/
T
( r) = K ⋅( r + r )
Für viele Elemente eines Systems gewinnt VOSS allgemein mit auffindbaren (ableitbaren) Konstanten Z und γ
0
e
p(
r) = 1 ⋅
Z r
M. W. ist nicht geklärt, ob das überall in der Physik, Elektronik usw. beobachtete 1/f-Rauschen hiermit zusammenhängt
−γ r
VERHULST- = logistische Gleichung
1845 entwickelte PIERRE FRANCOIS VERHULST (1804 - 1849) = Modell des gehemmten Wachstums
Zuwachs ist mit einer Konstante α proportional zur vorhandenen Anzahl N
dN
= α ⋅ N()
t
dt
Integration liefert exponentielles Wachstum mit Startwerten t 0 und N 0
N = N ⋅ e α⋅ −
0
( t t0
)
Meist gibt es jedoch endliche Ressourcen begrenzen Wachstum auf Maximum M
dN () ()
= a⋅N() t ⋅ M − N t = a⋅N() t ⋅ ⎛ ⎜1−
N t ⎞
⎟
dt M ⎝ M ⎠
Mit einem Startwert b liefert Integration
M
N ( t)
= .
1+
−( a⋅t
+ b)
e
Auflösen nach N(t) und Logarithmieren ergibt S-Kurve des Wachstums
⎛ N(
t)
⎞
log
⎜ = a ⋅ t + b
M N t
⎟
⎝ − ( ) ⎠
[Modis] enthält viele Beispiele zu S-Kurven und Produktionszyklen.
Spezielle Ziffernhäufigkeit
1881 fand Astronomen SIMON NEWCOMB:
Bei Logarithmentafeln verschmutzen die ersten Seiten, die mit 1 beginnen besonders schnell
Generell fand er, dass Zahlen, die 1 beginnen doppelt so häufig sind wie die mit 2 → NEWCOMBs Formel
1938 fand der Physiker FRANK BENFORD erneut das Gesetz von NEWCOMB an Zahlen über Gebiete, Flusslängen usw.
Zufall.doc H. Völz angelegt am 03.03.08, aktuell 28.12.2009 Seite 20 von 41