Zufall - Prof. Dr. Horst Völz

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Frage Natur Was ist Ursache, was ist Wirkung für Logarithmus? Physiologie ⇔ Physiologie unsere Vorstellungen von der Welt Bedeutung von Zahlenklassen Name Beispiel für Bezug Zahlenbereich Binär Physiologisch Anschaulich Naturgegeben Kombinatorisch Mathematisch Logik Gedächtnis Vorstellung, Zählen Natur, Kosmos Spiele, Evolution Theorie 0, 1 1, 2, ... 7 (±2) ca. 0,001 bis 1000 10 -100 bis 10 100 noch kleiner bzw. größer ε → 0 bzw. n → ∞ Auswertung von Messdaten Durch Messungen oder Erhebungen werden häufig mehrere Messpunkte als Punktwolke erhalten Die Auswertung kann zu drei Varianten der Anwendung führen: 1. Für eine Messgröße kann bei wiederholter Messung der wahrscheinlichste Wert und Messfehler bestimmt werden Dabei wird die Normalverteilung (Gauß-Kurve) berücksichtigt. So lassen sich grobe Fehler ausschalten (s. o.) Angegeben werden meist Erwartungswert = wahrscheinlichster Wert und Varianz bzw. Streuung 2. Bei einer Messreihe wird oft eine bestimmte Funktion vermutet Hierfür kann dann eine Anpassung, Regression bzw. Fit gesucht werden die Korrelation gibt dann die Sicherheit der Anpassung an 3. Die Daten von einer Messreihe werden benutzt um eine Hypothese zu bestätigen oder abzulehnen. Zufall.doc H. Völz angelegt am 03.03.08, aktuell 28.12.2009 Seite 22 von 41
Betrifft drei Anwendungen: Regression – (Kurven-) Anpassung – Fit (-ting) - Smoothing • Der mathematische Zusammenhang wird als bekannt vorausgesetzt Durch Mittelung werden die Parameter für den Zusammenhang bestimmt, typische Regression für y = a + b⋅x Die „Güte“ wird dann häufig über den Korrelationskoeffizient ρ 2 im Sinne eines Messfehlers bestimmt (s. u.) • Es sind unterschiedliche Zusammenhänge, mathematische Funktionen möglich Über die Korrelationskoeffizienten (oder andere Maße) wird entschieden, welche Funktion wahrscheinlich vorliegt • Möglichkeit der Extrapolation über den gemessenen Bereich hinaus So sind Voraussagen/Prognosen möglich. Auch Startpunkte, Vergangenheit sind erreichbar (s. Erkundungen) Anwendungen häufig Ökonometrie und Zinseszinsrechnung. Die drei Haupt-Varianten der Kurven-Anpassung Linear y = a + b⋅x Nichtlinear y = a + b⋅x + c⋅x 2 + d⋅x 3 + e⋅x 4 ... oder allgemein y = f (x) Mehrere Variablen y = a + b 1 ⋅x 1 + b 2 ⋅x 2 + b 3 ⋅x 3 + ... oder allgemein y = f (x 1 , x 2 , x 3 , ...) Lineare Variante Sie ist besonders einfach, da nur zwei Konstanten a und b und der Korrelationskoeffizient r (ρ 2 ) zu bestimmen sind: ∑ ∑x ⋅∑ ∑ x⋅∑ 2 [ ∑x] 2 y⋅ − x⋅ y 1 a = = ⋅ x 2 n x − n r = ( ∑ y − b ⋅∑ ) und b n⋅ n⋅∑ x⋅ y −∑ x⋅∑ y 2 2 2 ( n⋅∑x −[ ∑x] ) ⋅ n⋅∑y −[ ∑y] Es sind die Summen für 5 Größen zu bilden: Σx; Σy, Σx⋅y; Σx 2 und Σy 2 2 ( ) ∑ x⋅ n⋅∑ y − − ∑x⋅∑ [ ∑x] = 2 2 x y Für Messungen an Studenten ergaben sich bei [Stoyan] folgende Korrelationen Größe Gewicht Bauchumfang Schuhgröße Handgröße Oberschenkelumfang Größe Gewicht Bauchumfang Schuhgröße Handgröße Oberschenkelumfang 1 0,74 1 0,32 0,57 1 0,86 0,54 0,25 1 0,27 0,13 -0,14 0,13 1 0,28 0,68 0,50 0,23 0,44 1 Korrelationen müssen keinen ursächlichen Zusammenhang ausweisen Beispiel (s. o.) Störche ⇔ Kinder, Achtung Medizin und Pharmazie Umformung von Formeln zu linearer Regression logarithmisch y = a + b⋅ln (x) x‘ = ln (x) exponentiell y = a⋅b x y‘ = ln(y) = a‘ + b‘ *x a‘ = ln (a); b‘ = ln (b) geometrisch y = a⋅x b y‘ = ln(y) = a‘ + b* ln(x) a‘ = ln (a) trigonometrisch y = a + b⋅ sin (x) x‘ = sin (x) reziprok y = a + b/x x‘ = 1/x Texttemperatur T p(R) ≈ k ⋅ R -T x = log(R+1); y = log (p (R+1)) T = -b Beachten: R beginnt bei 0 Zufall.doc H. Völz angelegt am 03.03.08, aktuell 28.12.2009 Seite 23 von 41
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