Zufall - Prof. Dr. Horst Völz

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Fehlerrechnung = Methode der kleinsten Quadrate = GAUß’sches Fehlerquadrat oder L 2 CARL FRIEDRICH GAUß (1777 – 1855) Approximation erfolgt mit vorgegebenen Funktionen Φ m (x). Bestimmt werden deren Koeffizienten (Parameter) c m Vereinfachung der Schreibweise: Φ m,n = Φ m (x n ) und f n = f (x n ) eingeführt. Für Fehler gilt: N−1 M−1 2 2 ⎡ ⎤ E ( c0, c1, … cM− 1 ) = ∑⎢ fn −∑cm⋅Φm, n⎥ n= 0 m= 0 Ihre Minimierung erfolgt durch Nullsetzen der partiellen Ableitungen nach den c k , getrennt für alle k = 0 bis M – 1: 2 N−1 M−1 N−1 N−1M−1 ∂E ⎡ ⎤ = -2 fn− cm⋅Φm, n ⋅Φ k, n= -2 fn⋅Φ k, n+ 2 cm⋅Φm, n⋅Φ k, n= 0 ∂c ⎢ ⎥ k n= 0⎣ m= 0 ⎦ n= 0 n= 0 m= 0 Übersichtlicher ist die Umformung in die Schreibweise ⎣ ∑ ∑ ∑ ∑∑ . N−1M−1 N−1 cm⋅Φm, n⋅Φ k, n = fn⋅Φk, n n= 0 m= 0 n= 0 ∑∑ ∑ . Ermöglicht unmittelbare Überführung in die Matrixschreibweise N−1 N−1 N−1 ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ∑Φ0, n⋅Φ0, n ∑Φ0, n⋅ΦM−1, n ⎥ fn 0, n n 0 n 0 c ⎢ ∑ ⋅Φ = = ⎡ 0 ⎤ ⎥ n= 0 . ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⋅ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢N−1 N−1 ⎥ ⎢ N−1 c ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ M −1 ΦM −1, n⋅Φ0, n ΦM− 1, n⋅Φ ⎥ ⎣ ⎦ ⎢ M−1, n f ⎥ n⋅ΦM−1, n ⎢∑ ∑ ⎣n= 0 n= 0 ⎥⎦ ⎢∑ ⎣n= 0 ⎥⎦ Werden orthogonale Funktionssysteme gewählt, so existieren nur die Diagonalglieder Für orthonormierte nehmen sie sogar den Wert 1 an. Dann ergeben sich für die c k die einfachen Lösungen Für orthogonale Funktionen Φ k muss gelten c k = N −1 ∑ f ⋅Φ n k, n n= 0 N −1 2 ∑Φk, n n= 0 ⎧ 0fürk ≠ k ⎫. b 1 2 ∫ Φk1⋅Φ k2 =⎨ 2 ⎬ w für k a 1 = k2 Orthonormiert. sind sie dann, wenn w 2 = 1 gilt Beispiele sind Sin- + Cos-, LEGENDRE- und TSCHEBYSCHEFF-Funktionen ⎩ Versuchsplanung (Stichproben), Testmethoden (Hypothesen), Schätzverfahren Beispiel Brustkrebs Stimmt die Diagnose Brustkrebs? Daten von 2001. Es gibt immer unvermeidliche Fehler bei Mammografie Von 1000 Patientinnen haben im Mittel 10 Krebs. Nur bei 8 von ihnen fällt die Diagnose positiv aus Andererseits erhalten auch 95 gesunde Frauen einen positiven Befund 103 Frauen erhalten ein beunruhigendes Ergebnis, aber nur 8 davon sind wirklich krank Das Krebsrisiko liegt damit bei 8 zu 103 oder 7,8 % . ⎭ ⎦ Zufall.doc H. Völz angelegt am 03.03.08, aktuell 28.12.2009 Seite 24 von 41
Beispiel Biometrie Statistische Tests = schließenden Statistik Sie dienen der Entscheidung über die Gültigkeit einer Hypothese von zwei gegensätzlichen: Grund- = Null-Hypothese H 0 ⇔ Arbeits- (abzulehnende) Hypothese H A : Frage: Wie sicher ist H 0 ? Entscheidungen: einseitig: θ > θ 0 bzw. θ < θ 0 . oder beidseitig: θ ≠ θ 0 Wichtige Methoden: Normal-, t-, F- und χ 2 -Test [Stoyan]; [Gränicher] Beispiele • Müssen die Erzproben aus Lagerstätte A und B unterschieden werden? • Ist der Umfang der Bäume in diesem Wald normalverteilt? • Ist der vorliegende Würfel ideal? • Gehören zwei Messreichen zur gleichen Grundgesamtheit? Stichproben Normalverteilung wird angenommen. Grundgesamtheit in zwei Varianten; • Endliche Anzahl aller Objekte, z. B. Wähler in Deutschland, Bäume eines Waldes • Wertevorrat, z. B. Messungen, die ständig wiederholt werden können; formal →∞ (sehr) kleine Anzahl, aber repräsentativ ausgewählt, z. B.: • unabhängig vom zu testenden Ergebnis: z.B. Wahl: Menschen am 31.7. geboren (Horoskope andere Meinung) • Teilgrundgesamtheit: Männer / Frauen / Kinder; Altersgruppen; Berufe usw. • Hinreichend großer Stichprobenumfang Ermittelte Irrtumswahrscheinlichkeit α Sie bestimmt Grenze zwischen Ablehnung und Zustimmung = Fehlentscheidung erster Art = Irrtumswahrscheinlichkeit α sehr klein ⇒ immer Annahme von H 0; α sehr groß ⇒ immer Annahme von H A 0,01 ≤ α ≤ 0,05 = typische, günstige Werte und α < 0,005 bzw. α > 0,1 Vorsicht! Manipulation? Fehler zweiter Art, Risiko, der tatsächliche Unterschied wird nicht gefunden, hierfür β als Teststärke Zufall.doc H. Völz angelegt am 03.03.08, aktuell 28.12.2009 Seite 25 von 41
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Seite 13 und 14: Überblick, Fachgebiete und Methode
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